Александр Григорьевич Мордкович , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 частях. Часть 1

выражение а + Ь
при а = 5, Ъ — 7 имеет значение 12 (поскольку а + Ь =
= 5 + 7 = 12); при а = -16, Ь = -14 оно имеет значение
значение
-3 0 (так как а + Ь = -16 + (-14) = -16 - 14 = -30). Алге­
алгебраического
выражения
браическое выражение а2 - 36 при а = -2 , Ь = 0,4 прини­
мает вид числового выражения (—2)2 - 3 • 0,4; упрощая,
получаем 4 - 1,2 = 2,8 — это и есть значение алгебраического выра­
жения а2 - 3Ь при а = -2 , Ъ = 0,4.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выраже­
ния, можно придавать различные числовые значения (т. е. можно
менять значения букв), эти буквы называют переменными.

J ^ - ^ у л о в ы е и а л ге б р аи ч е с к и е в ы р а ж е н и я

ПРИМ ЕР 2

Н айти значение алгебраического выражения
а 2 + 2ab + Ъ2
(а + Ь) (а - Ь )’

если: а) а = 1, Ъ = 2; б) а = 3,7, Ъ = -1 ,7 ; в) а = - , b = - .
5

Реш ение

5

а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим:
1) а2 + 2аЬ + Ъ2 = I 2 + 2 ■1 • 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9;
2) а + Ь = 1 + 2 = 3;
3) а - 6 = 1 - 2 = -1 ;
4) (а + 6) (а - Ь) = 3 ■(-1 ) = -3 ;
5)

а 2 + 2аЬ + Ь2
9
=
= -3.
(а + 6) (а - Ь)
-3

б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно на­
ходим:
1) а 2 + 2аЪ + Ъ2 = 3,72 + 2 • 3,7 • (-1 ,7 ) + (-1 ,7 )2 = 13,69 - 12,58 +
+ 2,89 = 4;
2) а + Ь = 3 , 7 + (-1 ,7 ) = 2;
3) а - Ь = 3,7 - (-1 ,7 ) = 5,4;
4) (а + Ь) (а - 6) = 2 • 5,4 = 10,8;
о2 + 2аЬ + ft2
5) (о + Ъ) (а - Ь)

4

4 • 10

10,8

10,8 - 1 0

40
108

10
27

(разделили числитель и знаменатель дроби
на 4, т. е. сократили
10о
дробь).
в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим:

+2 | | +

1) а 2 + 2аЬ + 62 =

= А + !8 + _?_ = зб25

25

25

25’

оч

...
3 , 3 _ 6.
2) а + Ь - g + 5 - д>
3) а - Ь =

= 0;

4) (а + &) (а - Ъ) = д

0-0.

А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в
3
3
других аналогичных случаях)? Это значит, что при а = - , Ъ = - заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.

математическим язы к , математическая модель

Используется такая терминология: если при конкретных значе­
ниях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое
значение, то указанные значения переменных называют допустимы­
ми; если же при конкретных значениях букв (перемен­
ных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то
допустимые,
указанные значения переменных называют недопусти­
недопустимые
мыми. Так, в примере 2 значения а = 1 и Ъ = 2,
значения
переменных

о

а = 3,7и& = -1,7 — допустимые, тогда как значения а = —
иЬ

3

5

— недопустимые (более точно, первые две пары

значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая).
Вообще в примере 2 недопустимыми будут такие значения пере­
менных а, Ь, при которых либо а + Ь = 0, либо а - b = 0. Например,
а = 7, b = -7 или а = 28,3, b = 28,3 — недопустимые пары значений;
в первом случае а + Ъ= 0, а во втором случае а - Ъ = 0. В обоих слу­
чаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается
в нуль, а на нуль, повторим ещё раз, делить нельзя. Теперь, навер­
ное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений
для переменных а, Ь, так и недопустимые пары значений этих пере­
менных в примере 2. Попробуйте!
Пример 2в) на самом деле мы решали плохо (некультурно), по­
скольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. Надо было
сразу заметить, что при

знаменатель обращается в

нуль, и объявить; выражение не имеет смысла! Но, как говорится,
сразу замечает тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит ал­
гебра.
Если бы мы с вами решали пример 2 позднее, то сделали бы это
лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к более простому
виду а +
~

-

а тогда, согласитесь, гораздо проще было бы и вычисЪ

лять. А вот почему верно равенство

а 2 + 2ab + Ь2
(а + Ь) (а - Ь)

а + Ь
■Ь’

сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (в § 42).

Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Сформулируйте определение числового выражения.
Что такое значение числового выражения?
Что называется алгебраическим выражением?
Что такое значение алгебраического выражения?
Сформулируйте переместительный закон сложения.
Сформулируйте переместительный закон умножения.

§ 2. Что такое математический язык

7.
8.
9.
10.

Сформулируйте сочетательный закон сложения.
Сформулируйте сочетательный закон умножения.
Сформулируйте основное свойство дроби.
Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выра­
жение не имеет смысла»? Приведите пример такого выра­
жения.
11. Какие значения переменных называются --">