Александр Григорьевич Мордкович , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 частях. Часть 1

(преимуще­
алгебраическое
выражение
ственно из латинского алфавита), тогда получается алге­
браическое выражение. Эти выражения могут быть очень
громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные прави­
ла, законы, свойства, формулы.
П РИ М ЕР 1

Найти значение числового выражения
(2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81) : [д
25 ■37 • 0,4

Реш ение

Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите,
как много алгебраических фактов вы уже знаете.
Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений.
Для удобства введём следующие обозначения. Числитель данного
дробного выражения обозначим буквой А, а знаменатель — буквой В:
А = (2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81) : ( § “

);

5 = 25 ■37 • 0,4.

В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель — бук­
вой D. Тогда план наших действий будет выглядеть так:
1) найдём значение с выражения С;
2) найдём значение d выражения D\
3) разделив с на d, найдём значение а выражения А;
4) найдём значение Ь выражения В;
5) разделив а на Ь, найдём значение заданного числового выражения.
Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина успе­
ха!), приступим к его реализации.
1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Конечно, можно считать подряд,
или, как иногда говорят, «в лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу

прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но красивее сделать так, вспом­
нив переместительный и сочетательный законы сложения:
(2,73 + 3,27) + (4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.
Итак, с = 8.
2) D — ^

Здесь нам придётся вспомнить, как действовать с

обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему
знаменателю. Наименьшим общим кратным чисел 5 и 15 является
2

число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби - получаем:
2

2-3

5

„

6

5 = б Г з = 1 5 ' ЗНЗЧИТ’

2 _ 14 = А
5

Итак, d =

15

15

14
15

6 -1 4
15

8

_

"1 5 '

15

3) Разделим с на d:
г5 -

15-

Итак, а = -15.
4) В = 25 • 37 ■ 0,4. Конечно, можно проводить вычисления
«в лоб», т. е. вычислить 25 • 37, затем то, что получится, умножить
на 0,4. Но рациональнее воспользоваться переместительным и соче­
тательным законами умножения:
25 • 37 • 0,4 = (25 • 0,4) • 37 = 10 • 37 = 370.
Итак, Ь = 370.
5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ъ. Получим
=

(разделили числитель и знаменатель дроби на 5, т. е. со­

кратили дробь).
Ответ

А теперь вместе проанализируем, какие сведения из математики
нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не
просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.
3. Переместительный закон умножения: аЪ = 6а.
4. Сочетательный закон сложения:
а + Ь + с = (а + Ь) + с = а + (Ь + с).

ГЛ А В А 1. М А ТЕ М А ТИ Ч ЕС К И Й ЯЗЫ К. М А Т Е М А Т И Ч ЕС К А Я М О Д ЕЛ Ь

5. Сочетательный закон умножения: abc = (аЪ) ■с — а ■(Ъс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицатель­
ного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
9. Основное свойство обыкновенной дроби: т =
(значение дроо
ос
би не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно ум­
ножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число,
отличное от нуля). Это свойство позволило нам преобразовать дробь
\ к виду
(числитель и знаменатель дроби f одновременно умно5

15

5

жили на одно и то же число 3). Оно же позволило нам сократить
дробь
(числитель и знаменатель дроби
одновременно раздеo7U

о (U

лили на одно и то же число 5).
10. Правила действий с положительными и отрицательными чис­
лами.
Всё это вы знаете, но ведь всё это — алгебраические факты. Та­
ким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось
в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1,
заключается в том, что таких фактов довольно много, причём их
надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нуж­
ное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.
И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число,
которое получается в результате упрощений числового выражения
О
(в данном примере это было число - — ), называют значением число­
вого выражения.
Алгебраические выражения
Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении
алгебраического выражения, но только при конкретных значениях
входящих в него букв. Например, алгебраическое --">