З. И. Боревич , И. Р. Шафаревич - Теория чисел

3-Й. Боревич, И.Р. Шафаревич

ТЕОРИЯ
ЧИСЕЛ

З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с, 3-е изд.доп.

Излагается
ряд
методов
современной теории
чисел. Изложение
иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретикочисловых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным
уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное
место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем
издании (второе вышло в 1972 г.) нашли отражение некоторые наиболее
существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к
излагаемым в книге вопросам.
Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области
алгебры и теории чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Сравнения
§ 1. Сравнения по простому модулю
1. Суммы степеней вычетов (11). 2. Теоремы о числе решений
сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю (14).
§ 2. Тригонометрические суммы
1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы степеней
(19). 3. Модуль гауссовой суммы (22).
§ 3. р-аддческж числа
1. Целые /7-адические числа (25). 2. Кольцо целых/?-адических чисел
(28). 3. Дробные/7-адические числа (31). 4. Сходимость в полерадических чисел (32).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля/?-адических чисел
1. Метризованные поля (40). 2. Метрики поля рациональных чисел
(45).
§ 5. Сравнения и целые /?-адические числа
1. Сравнения и уравнения в кольце Z_ (48). 2. О разрешимости
некоторых сравнений (50).
§ 6. Квадратичные формы с /?-адическими коэффициентами
1. Квадраты в поле/?-адических чисел (58). 2. Представление яулярадическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные формы (62).
4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Замечания о формах
высших степеней (68).
§ 7. Рациональные квадратичные формы
1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех
переменных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы
от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность
(86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами
§ 1. Разложимые формы
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Единицы (105).
4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант полного модуля
(ПО).
§ 3. Геометрический метод
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел (112). 2. Решетки
(117). 3. Логарифмическое пространство (121). 4. Геометрическое
изображение единиц (123). 5. Первые сведения о группе единиц
(124).
§ 4. Группа единиц
1. Критерий полноты решетки (126). 2. Лемма Минковского (127). 3.
Структура группы единиц (131). 4. Регулятор (133).
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными
разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1 (136). 2. Общин вид решений уравнения
N(\X)=a (137). 3. Эффективное построение системы основных единиц
(138). 4. Числа модуля с данной нормой (142).
§ 6. Классы модулей
1. Норма модуля (143). 2. Конечность числа классов (146).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами
1. Квадратичные поля (149). 2. Порядки в квадратичном поле (150).
3. Единицы (152). 4. Модули (155). 5. Соответствие между модулями
и формами (158). 6. Представление чисел бинарными формами и
подобие модулей (161). 7. Подобие модулей в мнимом квадратичном

7
9
11

16

25

40

48

58

75

91
92

99

112

126

136

143
149

Глава III. Теория делимости
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители (175). 2.
Кольцо Z[Q (177). 3. Теорема Ферма в случае однозначности
разложения на множители (180).
§ 2. Разложение на множители
1. Простые множители (184). 2. Однозначность разложения (185). 3.
Примеры неоднозначного разложения (187).
§ 3. Дивизоры
1. Аксиоматическое описание дивизоров (190). 2. Единственность
(192). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров (195). 4. Связь
теории дивизоров с показателями (195).
§ 4. Показатели
1. Простейшие свойства показателей (202). 2. Независимость
показателей (203). 3. Продолжение показателей (206). 4.
Существование продолжений (211).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения
1. Существование (214). 2. Норма дивизоров (216). 3. Степень
инерции (220). 4. Конечность числа разветвленных простых
дивизоров (226).
§ 6. Дедекиндовы кольца
1. Сравнения по --">