Андрей Дмитриевич Полянин - Точные решение дифференциальных, интегральных, функциональных и других математических уравнений

ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî
ïðîèçâîäíîé èëè çàäàííûå ïàðàìåòðè÷åñêè

2.2.

62

. . . . . . . . . .

66

Ëèíåéíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî
ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.2.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ñòåïåííûå óíêöèè . . . . . . . . . .

69

2.2.3.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ýêñïîíåíöèàëüíûå è äðóãèå óíêöèè

80

2.2.4.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè . . . . . . . .

84

3

4

2.3.

Î

ËÀÂËÅÍÈÅ

Íåëèíåéíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî
ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.

2.4.

′′ = f (x, y) . . . . . .
yxx
′
′′
âèäà f (x, y)yxx = g(x, y, yx )

85

Óðàâíåíèÿ âèäà

. . . . . . . . . . . .

85

2.3.2.

Óðàâíåíèÿ

. . . . . . . . . . . .

88

2.3.3.

ÎÄÓ îáùåãî âèäà, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
äâóõ àðãóìåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ . .

97

2.4.1.

Ëèíåéíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

2.4.2.

Íåëèíåéíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4.3.

Íåëèíåéíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Ëèòåðàòóðà ê ãëàâå 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3. Ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
3.1.

Ëèíåéíûå ñèñòåìû äâóõ ÎÄÓ

124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.1.1.

Ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

. . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.1.2.

Ñèñòåìû ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1.3.

Äðóãèå ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2.

Ëèíåéíûå ñèñòåìû òðåõ è áîëåå ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.3.

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû äâóõ ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4.

3.3.1.

Ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

3.3.2.

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . 143

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû òðåõ è áîëåå ÎÄÓ

. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.4.1.

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû òðåõ ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.4.2.

Óðàâíåíèÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé . . 151

Ëèòåðàòóðà ê ãëàâå 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà
4.1.

157

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ äâóìÿ
íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2.

4.1.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ

4.1.2.

Óðàâíåíèÿ âèäà

. . . . . . . . 157
. . 159

4.1.3.

Óðàâíåíèÿ

. . 162

4.1.4.

Óðàâíåíèÿ

f (x, y)ux + g(x, y)uy = 0 . . . . . . . . .
âèäà f (x, y)ux + g(x, y)uy = h(x, y) . . . . . .
âèäà f (x, y)ux + g(x, y)uy = h(x, y)u + r(x, y)

. . 164

Êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ äâóìÿ
íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3.

4.2.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ

4.2.2.

Óðàâíåíèÿ âèäà

4.2.3.

Óðàâíåíèÿ

4.2.4.

Óðàâíåíèÿ

. . . . . . . . 166

f (x, y)ux + g(x, y)uy = h(x, y, u)
âèäà ux + f (x, y, u)uy = 0 . . . . . . .
âèäà ux + f (x, y, u)uy = g(x, y, u) . .

. . . . . . . 167
. . . . . . . 169
. . . . . . . 172

Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ äâóìÿ
íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3.2.

Óðàâíåíèÿ, êâàäðàòè÷íûå ïî îäíîé ïðîèçâîäíîé

. . . . . . . 176

Î

ËÀÂËÅÍÈÅ

5

4.3.3.

Óðàâíåíèÿ, êâàäðàòè÷íûå ïî äâóì ïðîèçâîäíûì

4.3.4.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå íåëèíåéíîñòè
îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

. . . . . . . 179

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Ëèòåðàòóðà ê ãëàâå 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ è çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè
5.1.

Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

188

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

ut = auxx

5.1.1.

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (äèóçèè)

5.1.2.

Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

5.1.3.

ut = auxx + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . .
Óðàâíåíèå âèäà ut = auxx + bux + cu + Φ(x, t)

5.1.4.

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ îñåâîé ñèììåòðèåé

ut = a(urr + r −1 ur )
5.1.5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

ut = a(urr + r −1 ur ) + Φ(r, t)

. . . . . . . . . . . 194

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé

ut = a(urr + 2r −1 ur )
5.1.7.

. . . . . . . . 190
. . . . . . . . 193

Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ --">