Андрей Дмитриевич Полянин , Алексей Иванович Журов , Всеволод Григорьевич Сорокин - Дифференциальные уравнения с запаздыванием

ut = auxx + F(u, w)

А. Д. ПОЛЯНИН, В. Г. СОРОКИН, А. И. ЖУРОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
СВОЙСТВА, МЕТОДЫ, РЕШЕНИЯ И МОДЕЛИ

w = u(x, t − τ)

ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÈÒÅÀÒÓÀ

À. Ä. ÏÎËßÍÈÍ, Â.

. ÑÎÎÊÈÍ, À. È. ÆÓÎÂ

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ
ÓÀÂÍÅÍÈß
Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
ÑÂÎÉÑÒÂÀ, ÌÅÒÎÄÛ, ÅØÅÍÈß È ÌÎÄÅËÈ

Ìîñêâà
ÈÏÌåõ ÀÍ
2022

ÓÄÊ 517.9
ÁÁÊ 517.2
Ï 54
Ïîëÿíèí À. Ä., Ñîðîêèí Â. ., Æóðîâ À. È. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì: Ñâîéñòâà, ìåòîäû, ðåøåíèÿ è ìîäåëè.  Ì.: Èçäàòåëüñòâî ¾ÈÏÌåõ ÀÍ¿, 2022.  464 ñ.  ISBN 978-5-91741-268-9.
Êíèãà ïîñâÿùåíà ëèíåéíûì è íåëèíåéíûì îáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è óðàâíåíèÿì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûì è
ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðåíû êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è ñîðìóëèðîâàíû òèïè÷íûå ïîñòàíîâêè çàäà÷. Îïèñàíû òî÷íûå, ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå
ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé, âêëþ÷àÿ ìåòîä øàãîâ, ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ìåòîä ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó, ìåòîä ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé, ìåòîäû èòåðàöèîííîãî òèïà,
ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà, ìåòîä êîëëîêàöèé, ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òèïà
àëåðêèíà, ìåòîäû Ýéëåðà è óíãå  Êóòòû, ìåòîä ñòðåëüáû, ìåòîä ïðÿìûõ,
êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ìåòîäû äëÿ Óð×Ï, ìåòîäû îáîáùåííîãî è óíêöèîíàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé, ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé è äð. Èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïðèìåðàìè ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ èñêîìûõ ðåøåíèé. Ïîñòðîåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ ðÿäà íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
è âîëíîâûõ óðàâíåíèé îáùåãî âèäà ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå çàâèñÿò îò îäíîé
èëè íåñêîëüêèõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé. Äàí îáçîð íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ çàïàçäûâàíèåì, èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè ïîïóëÿöèé, áèîëîãèè, ìåäèöèíå è äðóãèõ ïðèëîæåíèÿõ.  öåëîì â êíèãó âêëþ÷åíî
ìíîãî íîâîãî ìàòåðèàëà, êîòîðûé ðàíåå â ìîíîãðàèÿõ íå ïóáëèêîâàëñÿ.
Äëÿ øèðîêîãî êðóãà íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ïðåïîäàâàòåëåé âóçîâ, àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, òåîðèè óïðàâëåíèÿ, áèîëîãèè, ìåäèöèíû, õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè, ýêîëîãèè è ýêîíîìèêè. Îòäåëüíûå ðàçäåëû êíèãè è ïðèìåðû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â
êóðñàõ ëåêöèé ïî ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå è äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, äëÿ ÷òåíèÿ ñïåöêóðñîâ è äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ
çàíÿòèé.
Òàáë. 31. Èë. 33. Áèáëèîãð. 604 íàçâ.

ISBN 978-5-91741-268-9

©

À. Ä. Ïîëÿíèí, Â.

. Ñîðîêèí, À. È. Æóðîâ, 2022

Îãëàâëåíèå

Ïðåäèñëîâèå
Íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è çàìå÷àíèÿ
1. Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì
1.1.

9
12
14

Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå
ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.2.

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à
Êîøè. Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-

1.1.4.

Íåëèíåéíûå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäû-

ÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà è åå ñâîéñòâà . . .
âàíèåì, äîïóñêàþùèå ëèíåàðèçàöèþ èëè òî÷íûå ðåøåíèÿ . .
1.1.5.

Ìåòîä øàãîâ. åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïî-

1.1.6.

Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. ÎÄÓ ñ ïðîïîðöè-

ðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . .
îíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.

27
31
36

ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.2.1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Çàäà÷à Êîøè

41

1.2.2.

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Òî÷íûå

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.2.3.

Ëèíåéíûå ÎÄÓ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèÿìè . . . . .

47

1.2.4.

Ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à Êîøè. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

. . . . . . . . . . .

Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

. .

1.3.1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îáùèå çàìå÷àíèÿ îá óñòîé÷èâîñòè ðå-

1.3.2.

Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ îäíèì ïîñòîÿííûì

øåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

. . . . . . . . . . .

çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.

Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé --">