Андрей Дмитриевич Полянин - Точные решение дифференциальных, интегральных, функциональных и других математических уравнений

А. Д. ПОЛЯНИН

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ,
ИНТЕГРАЛЬНЫХ,
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
И ДРУГИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ

ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÈÒÅÀÒÓÀ

À. Ä. ÏÎËßÍÈÍ

ÒÎ×ÍÛÅ ÅØÅÍÈß
ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ,
ÈÍÒÅ

ÀËÜÍÛÕ,

ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ
È ÄÓ

ÈÕ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÓÀÂÍÅÍÈÉ

Ìîñêâà
ÈÏÌåõ ÀÍ
2023

ÓÄÊ 517.9
ÁÁÊ 517.2
Ï 54
Ïîëÿíèí À. Ä. Òî÷íûå ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ, èíòåãðàëüíûõ,
óíêöèîíàëüíûõ è äðóãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé.  Ì.: Èçäàòåëüñòâî
¾ÈÏÌåõ ÀÍ¿, 2023.  600 ñ.  ISBN 978-5-91741-281-8.
Êíèãà ïîñâÿùåíà òî÷íûì ðåøåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ðàçëè÷íûõ òèïîâ (àëãåáðàè÷åñêèõ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ, îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ, ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, èíòåãðàëüíûõ, óíêöèîíàëüíûõ, äèåðåíöèàëüíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì,
óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûõ è äð.).
Îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿì, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ðàçëè÷íûõ
îáëàñòÿõ åñòåñòâåííûõ è èíæåíåðíûõ íàóê (â òåîðèè òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà, òåîðèè âîëí, ãèäðîäèíàìèêå, ãàçîâîé äèíàìèêå, òåîðèè ãîðåíèÿ, òåîðèè
óïðóãîñòè, îáùåé ìåõàíèêå, òåîðåòè÷åñêîé èçèêå, íåëèíåéíîé îïòèêå, áèîëîãèè, õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè, ýêîëîãèè è äð.) è óðàâíåíèÿì äîñòàòî÷íî îáùåãî
âèäà, êîòîðûå çàâèñÿò îò ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ èëè ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé.
àññìàòðèâàþòñÿ òàêæå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå èçó÷àþòñÿ â óíèâåðñèòåòàõ è òåõíè÷åñêèõ âóçàõ.
Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé èãðàþò âàæíóþ ðîëü ñòàíäàðòíûõ ¾ìàòåìàòè÷åñêèõ ýòàëîíîâ¿, êîòîðûå øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè è
ðàçðàáîòêè ðàçëè÷íûõ ÷èñëåííûõ, àñèìïòîòè÷åñêèõ è ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
Êíèãà íå èìååò àíàëîãîâ â ìèðîâîé ëèòåðàòóðå è ñîäåðæèò ìíîãî íîâîãî
ìàòåðèàëà, êîòîðûé ðàíåå â ìîíîãðàèÿõ íå ïóáëèêîâàëñÿ. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ¾îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó¿.
Äëÿ øèðîêîãî êðóãà íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ïðåïîäàâàòåëåé âóçîâ, àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, òåîðèè óïðàâëåíèÿ, áèîëîãèè, ìåäèöèíû, õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè, ýêîëîãèè è ýêîíîìèêè. Îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå èëëþñòðàòèâíîãî ìàòåðèàëà íà ëåêöèÿõ è ñåìèíàðàõ ïî ïðèêëàäíîé
è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå, äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, óðàâíåíèÿì
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè è èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì.
Òàáë. 18. Áèáëèîãð. 225 íàçâ.

ISBN 978-5-91741-281-8

© À. Ä. Ïîëÿíèí, 2023

Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå
Íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è çàìå÷àíèÿ
1. Àëãåáðàè÷åñêèå è íåêîòîðûå òðàíñöåíäåíòíûå óðàâíåíèÿ
1.1.

1.2.

Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.1.

15

Ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2.

Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ òðåòüåé ñòåïåíè . . . . . . . . . .

16

1.1.3.

Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè . . . . . . . . .

19

1.1.4.

Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè

1.1.5.

Àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè

1.1.6.

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ

. . . . . . . . . . .

23

. . . . . .

27

. . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.2.1.

Äâó÷ëåííûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . .

34

1.2.2.

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå íåñêîëüêî
÷ëåíîâ

1.2.3.
1.3.

10
13
15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îáùåãî âèäà

. . . . . . . . .

37
43

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ýêñïîíåíöèàëüíûå, ãèïåðáîëè÷åñêèå è
äðóãèå óíêöèè
1.3.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ýêñïîíåíöèàëüíûå óíêöèè . . . . .

45

1.3.2.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ãèïåðáîëè÷åñêèå óíêöèè . . . . . .

46

1.3.3.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ëîãàðèìè÷åñêèå óíêöèè

. . . . .

50

Ëèòåðàòóðà ê ãëàâå 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2. Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

54

2.1.

Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
2.1.1.

. . .

54

. . . . . . . . . . . . . . .

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Ïðîñòåéøèå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

2.1.2.

Óðàâíåíèÿ èêêàòè

2.1.3.

Óðàâíåíèÿ Àáåëÿ

2.1.4.

Äðóãèå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî
ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5.

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà, íå --">