Вадим Витальевич Кочагин , Мария Николаевна Кочагина - ЕГЭ 2024. Математика. Сборник заданий: 900 заданий с ответами

\

(5)

1 + ctg2a =

(6)

5

I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1 классы)

Ф орм улы сложения
cos(a - P) = cos a cos p + sin a sin P

(7)

cos(a + P) = cos a cos p - sin a sin p

(8)

sin(a - P) = sin a cos p - cos a sin p

(9)

sin(a + P) = sin a cos P + cos a sin P

(10)

Ф орм ул ы двойного угла
cos 2 a = cos2 a - sin 2 a

(И )

sin 2a = 2 sin a cos a

(12)

* о
2tSa
tg2a = , „ 2
1 - tg2a

(13)

Знаки т р и го н о м етр и ч е ск и х функций

Решение типовых заданий
Каждый год в ЕГЭ встречаются задания на приме­
нение формул приведения. Их применяют для преоб­
разования выражений вида
cos
6

sin(7i+a); tg(270°+ a ); ctg(360°- a) и т.д.

1. ТРИГОНОМЕТРИЯ

Преобразовывать подобные выражения помогает сле­
дующее правило: 1) находим четверть, в которой рас­
положен угол, и определяем знак функции в этой чет­
верти (угол а считаем углом I четверти); 2) меняем
функцию на кофункцию, если аргументом служат углы
(—± a l f — ±al**> или не изменяем функцию, если
U

) 12

J

аргументом служат углы (л ± а), (2л

±

а)...

Задание 1. Упростите выражение c o s ^ ^ - a j.
Решение.
1) Угол ^ - а

лежит в III четверти, где cos а от­

рицателен.
Зл
2) Угол — находится на вертикальной
А

оси, поэтому «киваем головой сверху
вниз», отвечая на вопрос: «Меняется
название функции?» — «Да». Поэтому

(Ъ п

Л

получаем cosl —— a I = - sin a.
Ответ: - sin a.
Задание 2. Упростите выражение sin (л - a).
Решение.
1) Угол л - а лежит во II четверти, где sin а по­
ложителен.
2) Угол л находится на горизонтальной оси л = 180 ,
поэтому «киваем головой справа налево», отвечая на
вопрос: «Меняется название функции?» — «Нет». По­
этому получаем зт (л - a) = sin а.
7

I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (10 -11 классы)

Задание 3. Упростите выражение tg(90° + a).
Ответ: - c tg a .
Задание 4. Упростите выражение ctg(360°- a).
Ответ: - c tg a .
Рассмотрим более сложные случаи, когда сначала
используется свойство четности тригонометрических
функций (cos a — четная функция, sin a, tg a, ctg a —
нечетные функции), а затем формулы приведения.
Задание 5. Упростите выражение sin (а - л).
Р е ш е н и е . Сравним выражения из заданий 2 и 5.
Чтобы применить формулы приведения, используем не­
четность sin t.
sin(a - л) = -sin(7t - a) = - sin a.

Ответ: -sin a .
Задание 6. Упростите выражение cosj^a - —
Решение.

Ответ: -sin a .
Задание 7. Упростите выражение tg(a - 270°).
Решение.
tg(a - 270°) = -tg(270°- a) = -ctg a.
Ответ: - c tg a .
8

1. ТРИГОНОМЕТРИЯ

Задание 8. Упростите выражение ctg (а - 360°).
Решение.
ctg(a - 360°) = -ctg(360°- a) = ctg a.
Ответ: ctg a.
Рассмотрим следующую ситуацию, когда, прежде
чем применить формулы приведения, необходимо
уменьшить аргумент, используя свойство периодичнсти
тригонометрических функций (наименьший положи­
тельный период sin a, cos а равен 2л, поэтому умень­
шать аргумент можно, вычитая из него числа, кратные
2л; наименьший положительный период ctg a, tg a
равен л, поэтому уменьшать аргумент можно, вычитая
из него числа, кратные л).
Задание 9. Упростите выражение

sin(H - a) - 1

Решение.
Когда надо преобразовывать выражения в числителе
и знаменателе, удобно преобразовывать отдельно числи­
тель, отдельно знаменатель.
В числителе:
sin

- ctg a =

В знаменателе: sin (л- a ) - 1 = s i n a - 1.
9

I. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ (1 0 -1 1

классы)

Разделим числитель на знаменатель, получим:
cos а - ctg а
--- :----- :— • Выражения в числителе и знаменателе co­
sin a - 1
держат один и тот же аргумент а, поэтому используем
/
,
cosct
формулы одного аргумента (а именно: ctg a = ----- ).
sin a
cos a
cos a - ctg a _ cos a ~~ sin a _ cos a (sin a - l) _
sin a - 1
sin a - 1
sin a (sin a - l)
Ответ: ctg a.
Если сумма (разность) аргументов тригонометриче­
ских функций равна

тс;

и т.д., то помогают фор­

мулы приведения.
Задание 10. Вычислите: cos2 15° + cos2 75°.
Решение.
Так как 15° + 75° = 90°, то
cos2 15° + cos2 75° = cos2 (90°-75°) + cos2 75° =
= sin2 75° + cos2 75° = 1.
Ответ: 1.
Разобраться в обилии формул тригонометрии часто
помогает сравнение аргументов тригонометрических
функций, входящих в выражение.
Задание 11. Упростите выражение ——
cos 2Р
Решение.
Аргументы числителя и знаменателя отличаются
в 2 раза, значит, применим формулы двойного угла
в числителе.
10

1. ТРИГОНОМЕТРИЯ

sin4B
----- т:
cos 2p

=

2sin2Bcos2B _ . _0
------ т — ~ = 2 sin 2B.
cos 2P

Ответ: 2sin2J3.
В заданиях на преобразования выражений, содержа­
щих степени с натуральными показателями, --">