Алексей Владимирович Савватеев - Сборник задач к курсу «100 уроков математики»

последовательность уголков (см. рис. 3.3). Сколько клеток в 𝑘-м уголке? Чему
равна суммарная площадь первый 𝑘 уголков?

10

|

Урок 3. Визуальная арифметика

Рис. 3.3
3. Найти графически сумму первых 𝑘 четных и первых 𝑘 нечетных чисел.
4. Треугольные числа Диофанта
a)
b)
c)
d)

обозначим по порядку 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , 𝑇4 и т.д.

Сложите из двух последовательных треугольных чисел квадрат.
Что получится при сложении 𝑇𝑛 с 𝑇𝑛 ?
Выразив 𝑇𝑛 через 𝑛, найдите 1 + 2 + · · · + 𝑛.
Докажите геометрически, что 𝑇𝑛+𝑚 = 𝑇𝑛 + 𝑇𝑚 + 𝑛𝑚.

5. Докажите геометрически, что 1 + 2 + · · · + (𝑛 − 1) + 𝑛 + (𝑛 − 1) + · · · + 2 + 1 = 𝑛2 .
6. Получите геометрически выражение для (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 , (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 .
7. Объясните равенство на рис. 3.4 и получите формулу для суммы квадратов 12 + 22 + 32 +
· · · + 𝑛2 .

Рис. 3.4
8. С помощью рис. 3.5 получите еще один способ найти формулу для суммы квадратов.

Рис. 3.5

11

|

Урок 4. Бесконечные суммы

УРОК

4

Бесконечные суммы
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 4. Бесконечные суммы.

Справочные сведения
В данном разделе мы рассматриваем только суммы положительных слагаемых.
Бесконечные суммы с положительными слагаемыми могут быть сходящимися и расходящимися. Сходимость означает, что найдется такое число, что любой сколь угодно
длинный конечный отрезок данной бесконечной суммы меньше этого числа. Например,
сумму 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + . . . можно оценивать так:
1
1
1
1
1
+ 2 < 2+ 2 = ,
2
2
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2+ 2+ 2 < 2+ 2+ 2+ 2 = ,
2
4
5
6
7
4
4
4
4
4
и т.д. То есть, сумму можно разбить на отрезки длиной 2, 4, 8, 16 и т.д. слагаемых, причем сумма по каждому такому отрезку будет оцениваться сверху дробью 1/2𝑘 . Остается
заметить, что ряд
1 1 1
1
1+ + + +
+ ...
2 4 8 16
сходится. А это легко обнаружить на картинке 4.1 последовательным делением квадрата
1 × 1 пополам. Таким образом, для суммы обратных квадратов справедлива оценка:

Рис. 4.1
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + . . . 6 1 +

1 1 1
1
+ + +
+ . . . 6 2.
2 4 8 16

12

|

Урок 4. Бесконечные суммы

Обратно, для некоторых рядов можно найти такую оценку снизу, которая будет заведомо бесконечной, а значит, и сумма исходного ряда также будет бесконечной. Такое верно,
например, для гармонического ряда:
1+

1 1 1 1
1 1 1
1
1
+ + + + ... > 1 + + + + 4 · + 8 ·
+ ...,
2 3 4 5
2 4 4
8
16

а это — бесконечная сумма одинаковых слагаемых, равных 1/2 (кроме первого слагаемого). Ясно, что какое бы большой число мы ни выбрали, можно взять столь много раз 1/2,
что их сумма будет больше выбранного числа. А значит, и сумма гармонического ряда
равна бесконечности.

Задачи
1. Выведите формулу суммы геометрической прогрессии 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + . . . (0 < 𝑥 < 1) путем
домножения этой суммы на 𝑥. Найти:
1
1
1
+
+
+ ...;
10 100 1000
2
b) 1 + 0.2 + (0.2) + (0.2)3 + . . . ;
1
1
1
c)
+
+
+ ....
2
0.99 0.99
0.993
a)

2. Исследовать ряды на сходимость:
a) 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + . . . ;
b) 1 + 1/32 + 1/52 + 1/72 + . . . ;
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ...;
c)
1001 2001 3001
1000𝑛 + 1
1
1
1
d) 1 + + + + . . . ;
2! 3! 4!
2 3 5
𝑛
e) 1 + + + + · · · +
+ ....
3 5 9
2𝑛 − 1
∑︁
∑︁
3. Доказать, что если ряды
𝑎2𝑛 и
𝑏2𝑛 сходятся, то сходятся также и ряды:
𝑛

𝑛

∑︁
𝑛

𝑎𝑛 𝑏𝑛 ,

∑︁

(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )2 .

𝑛

Здесь все 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 > 0.
4. Доказать сходимость ряда
𝑎0 +
где 0 6 𝑎𝑛 < 10.

𝑎2
𝑎𝑛
𝑎1
+ 2 + ··· + 𝑛 + ...,
10 10
10

13

|

Урок 5. Движения прямой: работа с понятием

УРОК

5

Движения прямой:
работа с понятием
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 5. Начальные представления о движении.
Конспект: Глава 2, разделы 2.1 Сдвиг, композиция сдвигов, группа и раздел 2.2 Отражение.

Справочные сведения
Движением называется такое преобразование (прямой, фигуры, плоскости, области
пространства и т.д.), которое сохраняет расстояния. Т.е. если между точками 𝐴 и 𝐵 расстояние равно 𝑥, то между точками 𝐴′ и 𝐵 ′ , в которые переходят исходные точки 𝐴 и 𝐵
при некотором движении, расстояние также будет равно 𝑥.
На прямой рассматриваются следующие два вида движений:
• Сдвиг на 𝑥, когда все точки, как по команде, сдвигаются на число 𝑥 (если 𝑥 > 0, то
вправо, а если 𝑥 < 0, то влево). Сдвиг на 𝑥 обозначается за 𝑇𝑥 . Сдвиг на вектор 𝐴𝐵
обозначается 𝑇𝐴𝐵 .
• Отражение относительно точки 𝑂, когда все точки переходят в --">