Алексей Владимирович Савватеев - Сборник задач к курсу «100 уроков математики»

натуральное 𝑛 > 𝑁 . Раскроем
скобки в выражении 1 + 𝑛𝑟 по биному Ньютона и оставим лишь первые 𝑁 +1 слагаемых.
Докажите, что предел полученной таким образом последовательности равен 𝑠𝑁 ;
c) Докажите, что 𝑠𝑁 6 𝑒;
d) Докажите, что lim 𝑠𝑛 = 𝑒;
e) Докажите, что

𝑛→∞
𝑛
∑︁

1
1
1
6
1 ;
𝑘!
𝑚! 1 − 𝑚+1
𝑘=𝑚

f) Найдется ли 𝑛 < 100 такое, что |𝑒 − 𝑠𝑛 | < 10−6 ?

144 |

Урок 97. Число 𝑒

g) Докажите, что для любого 𝑟 ∈ Q существует предел lim

𝑛→∞

6. Докажите, что lim

𝑛→∞

𝑛(𝑒𝑛

𝑛
∑︁
𝑟𝑘
𝑘=0

𝑘!

= 𝑒𝑟 .

− 1) = 1.

7. Пусть {𝑥𝑛 } — последовательность положительных чисел, стремящаяся к 𝑎. Докажите, что
√
√
тогда для любого 𝑘 ∈ N существует предел последовательности { 𝑘 𝑥𝑛 }, равный 𝑘 𝑎.
8. Доказать неравенства

(︁ 𝑛 )︁𝑛
𝑒

< 𝑛! < 𝑒

(︁ 𝑛 )︁𝑛
2

.

9. Доказать неравенства:
(︀
)︀
1
a) 𝑛+1
< ln 1 + 𝑛1 < 𝑛1 , где 𝑛 > 0 — целое число;
b) 1 + 𝛼 < 𝑒𝛼 , где 𝛼 ̸= 0 — вещественное число.
10. Доказать, что
(︁
)︁
lim 𝑛 𝑎1/𝑛 − 1 = ln 𝑎,

𝑛→∞

(𝑎 > 0).

145 |

Урок 98. Непрерывность функций

УРОК

98

Непрерывность функций
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
Конспект: Глава 16, раздел 16.2 Экспонента.

Справочные сведения
Число 𝐴 называется пределом функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0 , если
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ((|𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿) → (|𝑓 (𝑥) − 𝐴| < 𝜀)).
Обозначение: 𝐴 = lim 𝑓 (𝑥). Если функция 𝑓 (𝑥) определена в точке 𝑥0 и 𝑓 (𝑥0 ) = lim 𝑓 (𝑥),
𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

то говорят, что 𝑓 (𝑥) непрерывна в точке 𝑥0
Функция 𝑓 непрерывна на множестве 𝑀 , если она непрерывна в каждой его точке.
В этом разделе считаем все функции определенными на действительных числах и принимающими действительные значения.
Если функция не определена в точке 𝑥 = 𝑥0 , но у нее существует предел в этой точке,
то 𝑥0 называется устранимым разрывом функции. Это значит, что функцию можно доопределить в точке 𝑥0 так, что она будет непрерывной в данной точке. Такое продление
функции называется продлением по непрерывности.

Задачи
1. Проверить, будут ли непрерывны следующие функции на множестве 𝑀 , если 𝑓 и 𝑔 непрерывны на том же множестве: a) 𝑓 + 𝑔; b) 𝑓 − 𝑔; c) 𝑘𝑓 (𝑘 — любое число); d) 𝑓 𝑔; e) 𝑓 /𝑔; f) |𝑓 |;
g) 𝑓 2 .
2. Продлить по непрерывности функции в точке 𝑥 = 0, если это возможно:
√
1 − cos(𝑥)
1+𝑥−1
tg 2𝑥
1
a)
; b) √
; c)
; d) sin 𝑥 sin ;
3
2
𝑥
2𝑥
𝑥
1+𝑥−1
1 −1/𝑥2
1/𝑥
𝑥
2
e) (1 + 𝑥) ; f) 2 𝑒
;
g) 𝑥 ;
h) 𝑥 ln 𝑥.
𝑥
3. Доказать, что если функция 𝑓 (𝑥) непрерывна, то функция
⎧
⎪
𝑓 (𝑥) < −𝑐,
⎨−𝑐,
𝑓𝑐 (𝑥) = 𝑓 (𝑥), |𝑓 (𝑥)| 6 𝑐,
⎪
⎩
𝑐,
𝑓 (𝑥) > 𝑐,
где 𝑐 — любое положительное число, тоже непрерывна.
4. Доказать, что если функция 𝑓 (𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎; 𝑏], то таковы же и функции:
𝑚(𝑥) = inf 𝑓 (𝑡),
𝑎6𝑡6𝑥

𝑀 (𝑥) = sup 𝑓 (𝑡).
𝑎6𝑡6𝑥

5. Доказать, что если функции 𝑓 (𝑥) и 𝑔(𝑥) непрерывны, то
𝑚(𝑥) = min{𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)},
также непрерывны.

𝑀 (𝑥) = max{𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥)}

146 |

Урок 98. Непрерывность функций

6. Доказать, что если функция 𝑓 (𝑥) a) определена и монотонна на отрезке [𝑎; 𝑏]; b) в качестве
своих значений принимает все значения между 𝑓 (𝑎) и 𝑓 (𝑏), то эта функция непрерывна
на [𝑎; 𝑏].
7. Доказать, что если функция 𝑓 (𝑥) непрерывна на интервале (𝑎; 𝑏) и 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 — любые
значения из этого интервала, то между ними найдется число 𝜉 такое, что
𝑓 (𝜉) =

1
(𝑓 (𝑥1 ) + · · · + 𝑓 (𝑥𝑛 )).
𝑛

--">