Алексей Владимирович Савватеев - Сборник задач к курсу «100 уроков математики»

𝑇𝑛 выражается в виде композиций 𝑆0 и 𝑆1 ?
5. При каких 𝑛 сдвиг 𝑆𝑛 выражается в виде композиций 𝑆0 и 𝑆1 ?
6. Пусть 𝐺 и 𝑄 — два движения прямой, причем 𝐺 ∘ 𝑄 = 𝑄 ∘ 𝐺 и 𝐺 ̸= 𝑄. Какими могут быть
𝐺 и 𝑄?
7. Пусть 𝐺 и 𝑄 — два движения прямой, причем 𝐺 ∘ 𝑄 = id и 𝐺 ̸= 𝑄. Какими могут быть 𝐺 и
𝑄?

18

|

Урок 7. Движения прямой: таблица композиций

8. Вывести равенства 𝑆𝐶 ∘ 𝑇𝑎 = 𝑆𝐶−𝑎/2 и 𝑇𝑏 ∘ 𝑆𝑂 = 𝑆𝑂+𝑏/2 из соотношения 𝑆𝐶 ∘ 𝑆𝑂 = 𝑇2𝑂𝐶
алгебраическим путем.
9. Доказать, что никакая композиция движений 𝑆𝑛 и 𝑇𝑚 с целыми индексами 𝑛, 𝑚 не может
быть равна сдвигу 𝑇𝑥 с нецелым 𝑥 и отражению 𝑆𝑦 с неполуцелым 𝑦.

19

|

Урок 8. Движения окружности: классификация

УРОК

8

Движения окружности:
классификация
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 8. Движения окружжности.
Конспект: Глава 3, раздел 3.1 Движения окружности, раздел 3.2 Группа движений окружности,
теорема Шаля.

Справочные сведения
Чтобы корректно говорить о движениях в криволинейном пространстве, нужно сначала
договориться о метрике на нем. Расстояние (метрика) между двумя точка окружности —
это длина меньшей из дуг данной окружности, соединяющих эти точки. Таким образом,
движение окружности по определению должно сохранять длину дуги, переводя точки
окружности в точки этой же окружности.
В отличие от прямой, на окружности расстояния имеют максимально допустимое значение, а именно, половину длины этой окружности. На максимальном расстоянии находятся диаметрально противоположные точки.
Движения на окружности являются:
• Отражение относительно диаметра (произвольного). Отражение обозначается 𝑆𝑙 ,
где 𝑙 — диаметр. Если на окружности зафиксировано нулевое положение диаметра,
то любой диаметр можно определить через угол наклона относительно нулевого
диаметра (угол откладывается против часовой стрелки). Если диаметр 𝑙 имеет наклон
𝜙 относительно нулевого диаметра (0 6 𝜙 < 𝜋), то отражение относительно данного
диаметра мы также записываем как 𝑆𝜙 .
• Поворот окружности относительно ее центра. Поворот обозначается 𝑅𝜙 , где 𝜙 —
угол поворота относительно центра окружности, осуществляемый против часовой
стрелки, 0 6 𝜙 < 2𝜋.
В обоих случаях можно рассматривать и другие значения угла 𝜙, приводя его по модулю
𝜋 в случае отражений и по модулю 2𝜋 в случае поворотов, т.к. наклон диаметра на угол
𝜑 ± 𝜋 приводит к диаметру с углом 𝜙, а поворот на угол 𝜋 ± 2𝜋 — это поворот на угол 𝜙.
Углы измеряются в радианах. 1 радиан — это угол, соответствующей дуге, длина которой равна радиусу окружности. Угол в 180𝑜 , соответствующий дуге, равной половине
длины окружности, он же — развернутый угол, — имеет радианную меру, равную числу
𝜋. Если окружность имеет радиус, равный 1, то мера угла в радианах численно совпадает
с длиной соответствующей этому углу дуги данной окружности.
Частным случаем поворота является тождественное движение id, оставляющее все
точки окружности на месте. id = 𝑅0 = 𝑅2𝜋𝑘 .
Других движений окружности не существует (теорема Шаля). Как и в случае прямой, любое движение окружности можно представить как композицию одного или двух
отражений.

20

|

Урок 8. Движения окружности: классификация

Задачи
1. Доказать, что 𝜋 > 3.
2. Пусть 𝐺 — движение окружности. Сколько у 𝐺 может быть неподвижных точек (имеется
ввиду общее количество, найдите все возможные варианты)?
3. Пусть 𝐺 — движение окружности. Известно, что 𝐺(𝐴) = 𝐴 и 𝐺(𝐵) ̸= 𝐵. Какой вид может
иметь 𝐺?
4. Пусть диаметры 𝑙 и 𝑘 перпендикулярны. Найдите 𝑆𝑙 ∘ 𝑆𝑘 .
5. Известно, что точка 𝐴 переходит при движении 𝐺 окружности в точку 𝐴′ , диаметрально
противоположную точке 𝐴. Каким может быть движение 𝐺?
6. Движение назовем четным, если оно является композицией двух отражений, а в противном случае — нечетным. Верно ли, что:
a) Композиция четных движений — четное движение, композиция двух нечетных движений — четное движение, композиция четного движения с нечетным движением —
нечетное движение?
b) 𝐺 четно тогда и только тогда, когда 𝐺−1 нечетно?

|

21

Урок 9. Движения окружности: таблица композиций

УРОК

9

Движения окружности:
таблица композиций
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
«Дети и наука»: Урок 9. Таблица умножения движений --">