Алексей Владимирович Савватеев - Сборник задач к курсу «100 уроков математики»

получат больше денег: если банк
начисляет 5% от имеющейся суммы раз в год или если он начисляет (5/12)% раз в месяц?
2. Докажите, что при всех натуральных 𝑛 и при всех неотрицательных 𝑎 выполнены неравенства a) [неравенство Бернулли] (1 + 𝑎)𝑛 > 1 + 𝑛𝑎; b) (1 + 𝑎)𝑛 > 1 + 𝑎𝑛 + 𝑎2 𝑛(𝑛 − 1)/2.
√
3. Укажите такое целое 𝑛 > 1, что a) 1.001𝑛 > 105 ; b) 0.999𝑛 < 10−5 ; c) 𝑛 𝑛 < 1.001.
4. a) Докажите: 𝑛𝑛 > 106 · 𝑛! при 𝑛 ≫ 0. b) Можно ли заменить 106 на любое другое число?
5. a) Докажите, что 0.001𝑛2 > 100𝑛 + 57 при 𝑛 ≫ 0. b) Число 𝐶 — любое, 𝑛 и 𝑚 — натуральные,
причем 𝑛 > 𝑚. Докажите, что 𝑥𝑛 > 𝐶𝑥𝑚 при 𝑥 ≫ 0. c) Дан многочлен 𝑃 (𝑥) = 𝑝𝑘 𝑥𝑘 +
𝑝𝑘−1 𝑥𝑘−1 + · · · + 𝑝1 𝑥 + 𝑝0 , где 𝑝𝑘 > 0. Верно ли, что 𝑃 (𝑥) > 0 при 𝑥 ≫ 0?
6. Докажите, что если 𝑎 > 1 и 𝐶 — любое, то a) 𝑎𝑛 > 𝐶 при 𝑛 ≫ 0; b) 𝑎𝑛 > 𝑛 при 𝑛 ≫ 0.
7. Верно ли, что a) 1, 01𝑛 > 100𝑛 при 𝑛 ≫ 0; b) если 𝑎 > 1, 𝐶 > 0, то 𝑎𝑛 > 𝐶𝑛 при 𝑛 ≫ 0?
8. a) Пусть 𝑞 > 1 и последовательность положительных чисел {𝑥𝑛 } такова, что 𝑥𝑛+1 /𝑥𝑛 > 𝑞
при 𝑛 ≫ 0. Докажите, что 𝑥𝑛 > 1 при 𝑛 ≫ 0. b) Верно ли утверждение предыдущего
пункта, если 𝑞 = 1?
9. Докажите, что при натуральных 𝑛 ≫ 0 a) 2𝑛 > 𝑛100 ; b) если 𝑎 > 1 и 𝑘 ∈ 𝑁 фиксировано, то
𝑎𝑛 > 𝑛𝑘 .
10. Докажите, что для любого 𝑎 неравенство 𝑛! > 𝑎𝑛 выполнено при 𝑛 ≫ 0.
1
1
1
11. a) Докажите, что 𝑛+1
+ 𝑛+2
+ · · · + 2𝑛
> 12 при любом 𝑛 ∈ 𝑁 . b) Для любого ли числа 𝐶
найдется такое 𝑛 ∈ N, что будет выполнено неравенство 1 + 12 + · · · + 𝑛1 > 𝐶? [Гармонический
ряд] c) Тот же вопрос для неравенства 1 + 212 + · · · + 𝑛12 > 𝐶.

140 |

Урок 95. Неравенства и оценки

12. Докажите для 𝑛 ∈ N:
a) 𝑎𝑛+1 /𝑏𝑛 > (𝑛 + 1)𝑎 − 𝑛𝑏, если 𝑎, 𝑏 > 0;
1 𝑛+1
> (1 + 𝑛1 )𝑛 ;
𝑛+1 )
1 𝑛
c) (1 + 𝑛−1
) > (1 + 𝑛1 )𝑛+1 ;
d) 2 6 (1 + 𝑛1 )𝑛 6 4;
e) (1 + 𝑛1 )𝑛 6 1 + 1!1 + 2!1 + · · ·

b) (1 +

+

1
𝑛! ;

f) [неравенство Коши] (𝑎1 + · · · + 𝑎𝑛 )/𝑛 >
g)

(𝑛/4)𝑛

6 𝑛! 6 ((𝑛 +

√
𝑛

𝑎1 . . . 𝑎𝑛 , если числа 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 положительны;

1)/2)𝑛 .

13. Для последовательности {𝑥𝑛 } найдите по данному числу 𝜀 > 0 какой-нибудь номер 𝑁 ,
начиная с которого верно, что |𝑥𝑛 | < 𝜀, если a) 𝑥𝑛 = 1/𝑛; b) 𝑥𝑛 = 2/𝑛3 ; c) 𝑥𝑛 = (sin 𝑛)/𝑛;
d) 𝑥𝑛 = 1/(2𝑛2 + 𝑛).
14. Доказать неравенства:
√
1
1
1
a) 1 + √ + √ + · · · + √ > 𝑛 (𝑛 > 2);
𝑛
2
3
b) 𝑛𝑛+1 > (𝑛 + 1)𝑛 (𝑛 > 3);
⃒ (︃ 𝑛
)︃⃒
𝑛
⃒
⃒ ∑︁
∑︁
⃒
⃒
c) ⃒sin
𝑥𝑘 ⃒ 6
sin(𝑥𝑘 ) (0 6 𝑥𝑘 6 𝜋, 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛);
⃒
⃒
𝑘=1

𝑘=1

2𝑛

2

d) (2𝑛)! < 2 (𝑛!) .
15. Доказать существование предела последовательности {𝑥𝑛 }, если
𝑝1
𝑝𝑛
a) 𝑥𝑛 = 𝑝0 + 10
+ · · · + 10
𝑛 , где 𝑝1 , 𝑝2 , . . . — целые неотрицательные числа, причем 𝑝𝑘 6 9 при
𝑘 > 1;
11
𝑛+9
3 · 2𝑛−1 ;
(︀
)︀ (︀
)︀ (︀
c) 𝑥𝑛 = 1 − 21 1 − 14 . . . 1 −
(︀
)︀ (︀
)︀
(︀
d) 𝑥𝑛 = 1 + 21 1 + 14 . . . 1 +

b) 𝑥𝑛 =

10
1

·

1
2𝑛 ;
)︀
1
2𝑛 ;

)︀

√︀
√
√
e) 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 2 + 2, . . . , 𝑥𝑛 =

√︂

√︁
√
2 + 2 + · · · + 2.
⏞
⏟
𝑛корней

141 |

Урок 96. Бесконечно малые и бесконечно большие

УРОК

96

Бесконечно малые
и бесконечно большие
Связь с онлайн курсом и главами конспекта:
Конспект: Глава 16, раздел 16.1 Оценки и пределы.

Справочные сведения
Если 𝑥𝑛 → 0, то пишут, что 𝑥𝑛 = 𝑜(1), читается «𝑥𝑛 есть бесконечно малая». Если отношение 𝑥𝑛 /𝑦𝑛 → 0, то пишут 𝑥𝑛 = 𝑜(𝑦𝑛 ), читается «𝑥𝑛 есть бесконечно малая по сравнению
с 𝑦𝑛 ».
Если для последовательности 𝑥𝑛 существует такая константа 𝐶 > 0, что |𝑥𝑛 | 6 𝐶 для
всех 𝑛, то пишут 𝑥𝑛 = 𝑂(1), что читается «𝑥𝑛 ограничено». Если 𝑥𝑛 /𝑦𝑛 определено для всех
𝑛 и ограничено, то пишут 𝑥𝑛 = 𝑂(𝑦𝑛 ), что читается «𝑥𝑛 по порядку не превосходит 𝑦𝑛 ».
Распространены также обозначения: 𝑥𝑛 = 1 + 𝑜(1) и 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 (1 + 𝑜(1)). Проще всего их
понимать так, что 𝑜(1) — это некоторая бесконечно малая последовательность {𝜀𝑛 }.
Бесконечно малые могут иметь разный порядок малости. Например, 1/𝑛2 = 𝑜(1/𝑛) и
1/𝑛 = 𝑜(1). Таким образом, 1/𝑛2 и 1/𝑛 — бесконечно малые, но 1/𝑛2 стремится к нулю
быстрее, чем 1/𝑛.
Если 𝑥𝑛 такова, что для любого сколь угодно большого 𝐶 > 0 найдется 𝑁 , после которого все 𝑥𝑛 > 𝐶, то пишут, что 𝑥𝑛 → ∞ или lim 𝑥𝑛 = ∞. При этом 𝑥𝑛 называется бесконечно
𝑛→∞
большой. Аналогичное определение для 𝑥𝑛 → −∞.
При вычислении пределов часто нужно уметь подбирать правильные оценки как для
самой последовательности, так и для разности последовательностей. Эти оценки могут
иметь --">