Игорь Федорович Шарыгин - Лекции по элементарной геометрии

прочитаны, оценки поставлены, экзамены и зачёты сданы и пересданы и у автора наконец появилось свободное время, которое он
(не без удовольствия) посвятил написанию этого текста. А как известно, свободное время –– великая вещь, которая, будучи правильным
образом использована, может принести самые неожиданные и порою
полезные плоды. В данном случае главным результатом стала возмож-

Предисловие (инструкция по применению)



ность переосмысления мною многих рассказанных результатов и возможность по-новому, более, как мне кажется, правильно расставить
акценты. Некоторые темы, которые были затронуты, что называется,
«в реальности», я решил перенести во вторую, не написанную пока часть книги, некоторые другие, о которых на практике ничего
рассказать не удалось, наоборот, добавлены. Во-вторых, я думаю,
что читателю будет очень полезно знать, что лекции написаны таким образом, чтобы они как можно меньше зависили друг от друга.
Иными словами, вы можете открыть их на любом понравившемся
месте и прочесть любую попавшуюся лекцию –– для этого вам, за
редким исключением, не потребуется знания материала, находящегося за рамками этой лекции. Исключение составляют только
широко известные школьные факты, на которые я ссылаюсь, не
особенно беспокоясь о том, где они до этого появлялись в тексте
книги (достаточно того, что они где-то уже встречались). Надеюсь,
эта небольшая оговорка не помешает достижению поставленной
цели –– модульности при изложении материала, позволившей бы использовать книгу не как учебник, а как сборник полезных идей,
применяемых в школьной геометрии. В-третьих, я считаю своим
долгом сразу сообщить читателю, что, как это почти всегда случается в столь древнем и почтённом предмете, как элементарная геометрия, все утверждения и теоремы, здесь представленные, можно
найти в бессчётном множестве других источников, прежде всего
в книгах и статьях моего отца, во многих других статьях в журнале
«Квант» и в других журналах, посвящённых школьной математике.
Если я и могу поставить что-то себе в заслугу, –– так это отбор материала и стиль, в котором он изложен в этой книге.
Наконец, я должен поблагодарить всех тех, кто помогал мне при
чтении лекций и проведении упражнений в СУНЦ МГУ: Владимира
Шарича и Алексея Пономарёва, а также школьников «А» и «Г» классов выпуска  года, своим активным (иногда даже чересчур) участием в занятиях немало поспособствовавших лучшему усвоению
мной пройдённого материала. Я также хочу поблагодарить заведующего кафедрой элементарной математики МПГУ им. Ленина, Владимира Алексеевича Смирнова, доверившего мне читать один из
основных курсов на потоке и посоветовавшего записывать лекции
в удобочитаемом виде.
Г. Шарыгин
Bures-sur-Yvette, ..

Лекция 

Теорема Пифагора: незнакомый знакомец
Существует много различных способов начинать курс элементарной геометрии. Можно посвятить первую лекцию напоминанию
различных систем аксиом или начать её с обсуждения топологических свойств плоских фигур. Выбор темы первой лекции зависит прежде всего от общей направленности курса (при этом можно
сказать, что имеется и обратная связь). Всё зависит от того, что
вы считаете своей главной задачей: научить слушателя глядеть на
элементарную геометрию как на часть «взрослой» математики, или
привлечь его внимание к красоте абстрактных рассуждений, или же
ещё что-то. Я в своих лекциях хочу в первую очередь научить слушателей решать сложные геометрические задачи, показать им красоту
нетривиальных геометрических утверждений. Мне хотелось бы как
можно быстрее познакомить их со сложными и красивыми теоремами, иногда выходящими за рамки школьного курса (но от этого
не менее элементарными). Поэтому естественно, что темой своей
первой лекции я выбираю одно из первых известных человечеству
красивых и нетривиальных геометрических утверждений –– теорему Пифагора.
Напомним её формулировку.
Теорема . Пусть ABC –– прямоугольный треугольник (∠C =90◦ ).
Тогда сумма квадратов катетов этого треугольника равна квадрату гипотенузы, AB2 = AC 2 + BC 2 .
Ниже мы приводим три различных доказательства этой теоремы. Так мы будем часто поступать и далее. Дело в том, что почти
любое утверждение в геометрии (как и вообще в математике) можно доказать многими разными способами. Каждое из --">