Владимир Игоревич Арнольд - Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

В. И-Арнольд
ГЮЙГЕНС и БАРРОУ,
НЬЮТОН и ГУ К

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ

В. И. АРНОЛЬД

ГЮЙГЕНС И БАРРОУ,
НЬЮТОН И ГУК
ПЕРВЫЕ ШАГИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ КАТАСТРОФ,
ОТ ЭВОЛЬВЕНТ
ДО КВАЗИКРИСТАЛЛОВ

МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989

ББК 22.1 г
А8 4
УДК 517 (091)
Серия издается с 1989 года
Серия выпускается под общим руководством Правления Московского Математического Общества. Главный редактор серии — Президент
Московского Математического Общества академик С. П. Новиков.

Α р н о л ь д В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук —
первые шаги математического анализа и теории катастроф, от
эвольвент до квазикристаллов / Серия «Современная математика
для студентов» — М.: Паука. Гл. ред. физ.-мат. лит.— 1989.— 96 с—
ISBN 5-02-013935-1.
Настоящая брошюра открывает серию «Современная математика для студенток», в основу которой положены лекции цикла
«Студенческие чтения» Московского Математического Общества.
В книге, написанной на основе лекции для студентов, посвященной трехсотлетию «Математических начал натуральной философии» Ньютона, рассказывается о рождении современной математики и теоретической физики в трудах великих ученых XVII века.
Некоторые идеи Гюйгенса и Ньютона опередили свое время на несколько столетий и получили развитие только в последние годы.
Об этих идеях, включая несколько новых результатов, также
рассказано в книге.
Для студентов и преподавателей вузов, учителей математики
средней школы и историков науки.
Ил. 41.

Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1989

ISBN 5-02-013935-1

ОГЛАВЛЕНИЕ
Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

5

Г л а в а 1. Закон всемирного тяготения

7

§
§
§
§
§
§

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Ньютон и Гук
Задача о падении тел
Закон обратных квадратов
Principia
Притяжение сфер
Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит?

. . . .

Г л а в а 2. Математический анализ

25

§ 7. Анализ как теория степенных рядов
§ 8. Многоугольники Ньютона
§ 9. Барроу
§ 10. Ряды Тейлора
§ 11. Лейбниц
§ 12. Дискуссия об изобретении анализа

25
26
28
32
33
37

Г л а в а 3. От эвольвент до квазикристаллов
§
§
§
§

13.
14.
15.
16.

39

Эвольвенты Гюйгенса
Волновые фронты Гюйгенса
Эвольвенты и икосаэдр
Икосаэдр и квазикристаллы

39
42
43
47

Г л а в а 4. Небесная механика
§
§
§
§
§
§
§
§

17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.

Ньютон после Principia
Натуральная философия Ньютона
Триумфы небесной механики
Теорема Лапласа об устойчивости
Падает ли Луна на Землю?
Задача трех тел
Закон Тицнуса — Боде и малые планеты
Люки и резонансы

7
11
16
18
20
23

52

. . . .

52
53
54
55
56
57
59
60

Г л а в а 5. Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов
· . .

65

§ 25. Теорема Ньютона о трансцендентности интегралов
§ 26. Глобальная и локальная алгебраичность

65
67

§ 27. Теорема Ньютона о локальной неалгебраичности ..
§ 28. Аналитичность гладких алгебраических кривыл
§ 29. Алгебраичность локально алгебраически квадрируемых овалов
§ 30. Алгебраически неквадрируемые кривые с особенностями
§ 31. Доказательство Ньютона и современная математика
Д о б а в л е н и е 1 . Доказательство эллиптичности орбит . .
Д о б а в л е н и е 2. Лемма XXVIII из Principia Ньютона . .
Примечания

69
70
71
72
74
75
79
84

ГЮЙГЕНС II БАРРОУ, НЬЮТОН И ГУК

В 1987 году исполнилось 300 лет «Математическим началам натуральной философии» Ньютона — книге, заложившей основы всей современной теоретической физики.
С этой книги, собственно говоря, и начинается теоретическая физика. Почти тогда же и там же начался математический анализ. Первая публикация по анализу относится к 1684 году, и принадлежит она не Ньютону, так
и не опубликовавшему своих открытий в этой области,
а Лейбницу.
Говоря *) о содержании «Математических начал натуральной философии», стоит посмотреть, как была написана эта книга, из чего она возникла, какие задачи решались, когда создавался анализ, для чего он создавался,
почему он так называется, откуда взялись его основные
понятия, например, почему в анализе мы говорим о функциях и т. д.
Все эти вопросы относятся к ньютоновской эпохе конца XVII века, когда работала целая плеяда --">