Р. М. Минькова - Математическая физика в примерах и задачах

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Р. М. Минькова

Математическая физика
в примерах и задачах
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по программе бакалавриата и специалитета
по направлениям подготовки
140800.62 – Ядерные физика и технологии;
141401.65 – Ядерные реакторы и материалы;
141405.65 – Технологии разделения изотопов и ядерное топливо;
140801.65 – Электроника и автоматика физических установок;
010900.62 – Прикладные математика и физика;
210100.62 – Электроника и наноэлектроника

Екатеринбург
УрФУ
2013

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
М62
Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного экономического
университета
(зав. кафедрой, доц., канд. физ.-мат. наук Ю.Б. Мельников);
старший научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН ,

проф., д-р физ.-мат. наук Е.Ф. Леликова;
Научный редактор − доц., канд. физ.-мат. наук Н.В. Чуксина

М62 Минькова, Р.М.
Математическая физика в примерах и задачах :
учебное пособие / Р.М. Минькова. Екатеринбург: УрФУ, 2013. 95 с.
ISBN
В данной работе разбирается решение типовых примеров и задач по следующим темам курса «Методы математической физики»: элементы функционального
анализа, специальные функции, постановка простейших задач математической физики и
методы их решения, вариационное исчисление.
Работа предназначена для студентов физико-технического факультета.

Библиогр.: 16 назв. Рис. 3. Прил. 2.
УДК 517 (075.8)
ББК 22.161я73

ISBN

© Уральский федеральный университет, 2013

1. Элементы функционального анализа
1.1. Евклидовы пространства
Ограничимся евклидовым пространством над полем действительных чисел.
Определение. Евклидовым пространством H (над полем действительных
чисел) называют линейное пространство (над полем действительных чисел), в
котором определено скалярное произведение любых двух элементов x, y , т.е.
действительное число  x, y  , удовлетворяющее следующим аксиомам:
а)  x, x   0;
б)  x, x   0  x  0;
в)  x, y    y, x  ;
г)   x, y     x, y  ;
д)  x1  x2 , y    x1, y    x2 , y  .

Свойства евклидова пространства
1.  x,  y     x, y  .
2.  x, y1  y2    x, y1    x, y2  .
3. В евклидовом пространстве можно ввести норму

 x, x  .

x 

4. Неравенство Коши-Буняковского:

 x, y 

 x, x    y, y  или



 x, y 

 x  y .

Примеры евклидовых пространств
1. В пространстве Rn для элементов x   x1, x2 ,..., xk  , y   y1, y2 ,..., yk  скалярное
произведение определяется формулой  x, y   x1  y1  x2  y2  ...  xk  yk .
Тогда норма x   x, x   x12  x22  ...  xk2 совпадает с нормой введенной ранее.


2. В пространстве L2  a, b  для элементов x  x  t  , y  y  t  скалярное произведеb

ние определяется формулой  x, y      t  x  t  y  t  d t .
a

b

Тогда норма x   x, x  

2
  t  x  t  d t

совпадает с нормой введенной ранее.

a

Пример 1.1. Можно ли в пространстве дифференцируемых на  a, b функций ввести скалярное произведение следующим образом:
b

1)

b

 x, y     x  t  y  t   x  t  y  t  d t ;
a

2)  x, y    x   t  y   t  d t .
a

3

Решение. Проверим аксиомы скалярного произведения.
b

1. Для величины  x, y     x  t  y  t   x  t  y  t   d t имеем:
a
b

a )  x, x     x 2  t   x 2 t  d t  0;
a
b

б )  x, x     x 2  t   x 2 t  d t  0  x  t   0;
a
b

в )  x, y     x  t  y  t   x  t  y   t   d t   y , x  ;
a
b

г )   x, y      x  t  y  t    x   t  y   t   d t    x, y ;
a

b

д)  x1  x2 , y      x1  t   x2  t   y  t    x1  t   x2 t   y  t  d t   x1 , y    x2 , y  .


a

Следовательно, выполнены все аксиомы скалярного произведения и велиb

чина  x, y     x  t  y  t   x  t  y  t   d t является скалярным произведением.
a
b

2. Для величины  x, y    x  t  y   t  d t имеем:
a
b

a )  x, x    x 2 t  d t  0;
a
b

б )  x , x    x  2 t  d t  0  x   t   0  x  t   C .
a

b

Итак, вторая аксиома не выполняется и величина  x, y    x  t  y   t  d t не являетa

ся скалярным произведением.

Ортогональные системы в евклидовом --">