Р. М. Минькова - Математическая физика в примерах и задачах

 1

1.2. Задача Штурма–Лиувилля
При решении задач математической физики удобно использовать базис из
собственных функций некоторого дифференциального оператора, связанного с
6

физической задачей. Задачей Штурма–Лиувилля называют задачу отыскания
собственных функций дифференциального оператора L , удовлетворяющих
граничному условию на границе   области  D  , т. е. следующую задачу:
L u  M    u  M  , M   D  ,

u 


   u       0.

n 


Будем предполагать (как обычно бывает в физических задачах), что в граничном условии  ,  одного знака и одновременно не равны нулю.
Мы ограничимся случаем, когда область  D  есть интервал  a, b  , оператор
L имеет вид L u  Au   Bu  Cu , где u, A, B, C есть функции от аргумента x . Тогда задача Штурма–Лиувилля примет вид
 Lu  x    u  x  , x   a , b  ,
Lu  x   A  x  u   x   B  x  u   x   C  x  ,


где

u
a


u
a

0,

1  
1  
i  i  0,  i 2  i 2  0  i  1, 2  .
  u  b    u   b   0,
2
2


(1.2)

Свойства собственных функций задачи Штурма – Лиувилля
1. Собственные функции задачи (1.2) ортогональны в пространстве H  с весом


1

 B 
exp   dx  .
 A 

A

(1.3)

2. Если A  0, C  0, то собственные значения   0 .
3.   0 есть собственное значение, а u  1 – соответствующая собственная
функция тогда и только тогда, когда C  0 и граничные условия имеют вид
 u  a   ,
u   a   0,
или 

u   b   0,
 u   b   0.
4. Любая функция из пространства H  разлагается в ряд Фурье по ортого-

нальной системе собственных функций, причем этот ряд сходится к функции
абсолютно и равномерно.
Пример 1.4. Найти собственные функции оператора Ly  y , удовлетворяющие граничным условиям y   0   0, y   l   0. Найти вес ортогональности и
норму собственных функций. Разложить функцию f  x   x в ряд Фурье по собственным функциям.
Решение. 1). Имеем оператор вида L y  Ay   By  Cy , где A  1, B  0, C  0 . Так
как A  0, C  0, то собственные значения   0 . Удобно записать отрицательное
число  в виде     2 . Тогда уравнение Ly   y примет вид y     2 y .
2). Для решения этого однородного линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение:
k 2    2 . Его решения k    i , а общее решение дифференциального уравнения
7

y  c1 cos  x  c2 sin  x .

3). Воспользуемся граничными условиями y   0   0, y   l   0. Из граничного
условия y   0   0 имеем y   x    c1 sin  x  c2  cos  x  x0  c2   0 . Отсюда или
 0  0 (соответствующая собственная функция y0  1 ), или c2  0, y  c1 cos  x .
Так как собственные функции – это ненулевые функции, определяющиеся с
точностью до постоянного множителя, то можно положить c1  1. Из условия
k
.
l
yk  cos k x , где k   k / l (k  0,1, 2,...).

y   l   0 получим y  l     sin  l  0,  l   k ,  k 

Итак, собственные функции

В частности, при k  0 имеем  0  0 , y0  1 .
4). Вычислим вес ортогональности собственных функций оператора, учитывая,
что A  1, B  0 для оператора Ly  y :


1

 B 
exp   dx   exp
 A 

A

  0 dx   e0  1 .

5). Вычислим нормы собственных функций:
yk

2

l

  yk , yk     yk

l

2

l

l



1  cos 2 k x
1
sin 2 k x
dx   x 
 x  dx   cos k x dx  

2

0

0

2

0

2

2 k



0

l
2

k  0 

(здесь мы воспользовались тем, что sin 2k l  sin 2 k  0 и  k  0 при k  0 ).
При k  0 следует вычислить y0 отдельно (предыдущими вычислениями нельзя воспользоваться, так как будет деление на  0  0 ):
2

y0

l

l

  y0 , y0      y0

2

 x  dx   dx  l .

0

0

6). Разложим функцию f  x   x в ряд Фурье по собственным функциям yk  cos k x :


f  x    ck yk  x  , где ck 
k 0

 f , yk 
.
 yk , yk 

Вычислим скалярное произведение  f , yk  сначала при k  0 , применив интегрирование по частям и учитывая, что sin k l  sin  k  0, cos k l  cos  k   1k :
l

l

l l

1 
 x  sin   k x    sin  k x  dx  

k 
0 0
0
0



l
0, k  2n,
1
1

 2  cos k x   2  cos  k l  1  
k
0 k
2 / k 2 , k  2n  1.

k  2n,
 f , yk   0 ,
l
Так как  yk , yk   , то ck --">