Гарольд Джеффрис , Берта Свирлз - Методы математической физики

при л: = О, то либо d y ld x , либо d^lyldx^
бесконечна и о б р а з о в а т ь ряд Тейлора нельзя. Значение л: = О
для д в у х уравнений является о с о б о й точкой.
’
Линейные уравнения о б л а д а ю т одним важ ны м св ой ств ом :
их о со б ы е точки постоянны. Д а ж е для так ого п ростого ур а в н е­
ния, как
dy
dx ~

1
1 - г/2 '

d y ld x о б р а щ а е т с я в бесконечн ость при г / = ± 1 , и значение х
при этом непостоянно, если придавать разные значения у при
X = 0. Решение на са м ом деле таково:
у -^ у ^ = х + а
при

X = у

-

а = у

-

и

г/ = 1

г/ ( 0 ) + у

[ у (0 )]з .

Именно это непостоянство о с о б ы х точек п о р о ж д а е т н аи бол ь­
шие дополнительные трудности в общ ей теории нелинейных
диф ференциальны х уравнений.
16.03. С ущ ествова н и е реш ения в ок р естн ости обы кновенной
точки. Р а сс м от р и м уравнение

где f { x ) и g (л:) —аналитические функции от х (которы й мы м о ­
ж ем для больш ей об щ н о ст и считать комплексным) в н ек отор ой
обл а сти, сод ер ж а щ е й точку л: = 0. При х = 0 п ол ож и м у = г/д,

d y ld x = y\. Ч т о б ы их м о ж н о бы л о вы бр а ть произвольными, f (х)
и g { x ) д ол ж н ы бы ть ограничены в окрестности нуля. П о л о ж и м
по определению
X

дф (;с) = [ ф (t) dt.

(2 )

о

Применим оп ератор Q к н аш ем у диф ференциальному ур а в н е­
нию (предполагая, что это в о з м о ж н о ) и проинтегрируем втор ой
член по частям. Получим
- g - - г/1 + г/f (х) - Уо! (0) - Q [ у Г (х)] + Q [ g (х) у] = 0.
что м ож н о записать
^

(3)

так:

= y ^ + y , f { 0 ) - y f { x ) + Q[h{x)y].

(4)

П р ои н т егр и р о ва в снова, получим
У = Уо + У1 Х + Уо! { 0 ) x - Q [yf (х)] + Q2 [h (х) у].

(5)

Положим
Уо + У^х + г/of (0)

= «1.

(6)

- Q [ f (х) щ] + Q2 [h {х) щ] = « 2.

(7)

- Q \t{x )uA + Q4h{x)ur]=Ur^,

(8 )

и соединим от р ез к ом точки О и х. П у ст ь на этом отрезке
\f{x)\ z ''\ n z ,

дс

и п отом у разложение второго решения начинается так:
, м

( - п ) ( r t + 1) /

Pn( x) \nZ

1

,

2] г

1

( _ „ + „ + 1

р

,

( - / г ) ( - « + 1 ) . ( / г + 1 ) -(« + 2)

1

12.22

X (-L + _ 1 _ + _ 1 _
^ \ - п ^ - п + \ ^

п+\

1

,

2

: _ 1 _ _ 1 _ л ( .и
^

п+ 2

1

2 j\ 2 j

Если п — целое полож ительное, то о бр ы ва ю щ и й ся ряд аналитичен так ж е и при х = — I, но второе решение содер ж и т
1 п (л :+ 1 ). М о ж н о показать, что он о представляется в виде
0 , два решения:

h

{х) = ^
( г=0

1 / г \ { п + г)\ ’

/ J %-п+2г
} - п (Х) = ^

(14)

( - I / н ( - П+ г)\ •

г= 0

Они независимы, д а ж е если п полуцелое, хотя корни опреде­
л яю щ его уравнения и отличаются в э т о м случае на целое число.
М ы сравним их с решениями в виде комплексных интегралов,
разлагая по у б ы в а ю щ и м степеням t. У первого интеграла
первый член равен
2"п\

м

а у в т ор ого, соответственно, 2л/

^ . О б а интеграла

р азла­

гаю тся в ряды по возр а ст а ю щ и м степеням х. И так,

М

"' '

2Я( J

//2 +1

'

^

Следовательно, если « ^ О и .V> О, т о / „ {х) Н (х) представляется
в операторном виде так **):

О д н а к о 1 - п { х ) не представимо в операторном виде при п > 1 ,
так как р азлож ен ие со о т в е т с т в у ю щ е г о оператора д о л ж н о бы л о бы
начинаться с р", что не поддается истолкован ию ; если ж е мы
применим интеграл Бромвича, то он получится р асходящ им ся.
Ч т о б ы заставить интегральное выражение для J - n { x ) с х о ­
диться, приходится использовать моди ф и кац ию пути интегри­
рования Бромвича, при кот ор ой R e ( 0 - ^ ° o на концах.
*) в оригинале м нож итель 2 " в об ои х знам енателях и в следую щ ей
стр очк е пропущ ен. — Прим. перев.
** ) П ервоначально эт о представление получено сп особ ом 21.01 (см. [6]).

Ван дер П оль [7] нашел много интересных применений п о д о б ­
ному методу и, в частности, вывел (15) и (16). Он, правда,
предполагал с са м ого начала, что искомая функция имеет изб*
бражение, определяемое уравнением
оо

F(z)=

[ г\ {х )е-^ Ы х ,

которое не имеет см ы сл а, если усл овия сх одим ости не выпол­
няются. О н о имеет смысл при f (л:) = / „ (х), но не при / (х) =
(х),
если п > I. К ром е того, его сп особ д а ет написанное выше ди ф ­
ференциальное уравнение для Т, и он н аходи т о б а решения;
одно из них не представимо интегралом Бромвича, который,
как он о бъя вл яет вначале, он использует. Далее он некстати
использует термин „оп ераторн ое решение". М етод, которы й он
использует, не операторный, так как он определяет р как к о м ­
плексную переменную, а не как оператор. Д ел о в том, что,
несмотря --">