Андрей Дмитриевич Полянин - Лекции по нелинейным уравнениям математической физики

определения инвариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.4. Анализ конкретных обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Литература к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка
3.1. Характеристическая система. Общее решение . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Уравнения с двумя независимыми переменными . . . . . . .
3.1.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных
3.2. Задача Коши. Процедура построения решения. Теорема существования и единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Две формулировки задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Процедура решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Теорема существования и единственности . . . . . . . . . . .
Литература к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Решение некоторых функциональных уравнений
4.1. Метод дифференцирования по независимым переменным . . . . .
4.1.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом
дифференцирования по независимым переменным . . . . .
4.2. Метод дифференцирования по параметру . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Рассматриваемые классы уравнений. Описание метода . . .
4.2.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом
дифференцирования по параметру . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Метод исключения аргумента с помощью тестовых функций . . .
4.3.1. Рассматриваемые классы уравнений. Описание метода . . .
4.3.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом
исключения аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47
47
47
50
51
51
51
54
54

55
. 55
. 55
. 55
. 59
. 59
. 61
. 64
. 64
. 65
. 67

5. Элементарная теория инвариантов: Уравнения с частными производными
5.1. Описание метода построения решений, основанного на теории инвариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Преобразования, сохраняющие вид уравнения, и их инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Процедура построения точных решений . . . . . . . . . . . .
5.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Решения типа бегущей волны (построенные с помощью преобразований сдвига) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Автомодельные решения (построенные с помощью преобразований масштабирования) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Другие инвариантные решения (построенные с помощью
композиций преобразований сдвига и масштабирования) . . .

68
68
68
69
70
70
72
76

О ГЛАВЛЕНИЕ
5.3. Обратные задачи (определение вида уравнения по его свойствам)
5.3.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Примеры обратных задач и их решений . . . . . . . . . .
Литература к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
.
.
.
.

.
.
.
.

80
80
80
84

6. Методы обобщенного разделения переменных
86
6.1. Решения с простым разделением переменных . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.1. Решения с мультипликативным и аддитивным разделением
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.2. Решения с простым разделением переменных нелинейных
уравнений математической физики . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2. Структура решений с обобщенным разделением переменных . . . . 91
6.2.1. Общий вид решений. Рассматриваемые классы нелинейных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.2. Функционально-дифференциальные уравнения, возникающие
при обобщенном разделении переменных . . . . . . . . . . . 93
6.3. Упрощенный метод построения решений с обобщенным разделением переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1. Упрощенный метод, основанный на априорном задании одной системы координатных функций. Описание . . . . . . . . 93
6.3.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . 94
6.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.1. Описание метода дифференцирования . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.2. Примеры построения решений с обобщенным разделением
переменных методом дифференцирования . . . . . . . . . . . 100
6.5. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5.1. Предварительные замечания. Описание метода. Принцип расщепления . . . --">