Андрей Дмитриевич Полянин - Лекции по нелинейным уравнениям математической физики

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5.2. Решения билинейных функциональных уравнений . . . . . . 107
6.5.3. Примеры построения решений с обобщенным разделением
переменных методом расщепления . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.6. Метод инвариантных подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6.1. Подпространства, инвариантные относительно нелинейного
дифференциального оператора. Описание метода . . . . . . . 113
6.6.2. Некоторые обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.6.3. Нахождение линейных подпространств, инвариантных относительно заданного нелинейного оператора . . . . . . . . . 119
Литература к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6

О ГЛАВЛЕНИЕ

7. Методы функционального разделения переменных
126
7.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.1. Структура решений с функциональным разделением переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2. Упрощенный метод построения решений с функциональным разделением переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.1. Описание упрощенного метода, основанного на преобразованиях искомой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений127
7.3. Решения типа обобщенной бегущей волны . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3.1. Решения типа обобщенной бегущей волны и другие решения специального вида. Алгоритм построения решений . . . 131
7.3.2. Примеры построения точных решений типа обобщенной бегущей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4. Метод дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.4.1. Краткое описание метода. Редукция к функционально-дифференциальному уравнению стандартного вида . . . . . . . . 141
7.4.2. Примеры построения решений с функциональным разделением переменных методом дифференцирования . . . . . . . . 141
7.5. Построение решений с функциональным разделением переменных
в неявной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5.1. Предварительные замечания. Решения типа бегущей волны
в неявном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5.2. Прямой метод построения решений с функциональным разделением переменных в неявном виде. Описание . . . . . . . 152
7.5.3. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Литература к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8. Прямой метод построения редукций. Слабые симметрии
8.1. Прямой метод построения редукций . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Упрощенная схема. Уравнения Кортевега — де Фриза и Буссинеска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Специальный вид редукций. Уравнение Буссинеска и волновое уравнение с пространственной анизотропией . . . . .
8.1.3. Специальный вид редукций. Нелинейные уравнения
реакционно-диффузионного типа . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4. Общий вид редукций. Уравнение Гарри Дима . . . . . . . .
8.2. Прямой метод поиска слабых симметрий . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Общее описание метода. Уравнение стационарного пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Уравнение Бюргерса — Хаксли (уравнение диффузионного
типа с кубической нелинейностью) . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3. Уравнения нестационарного плоского и осесимметричного
пограничного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160
. 160
. 160
. 163
. 166
. 175
. 177
. 177
. 180
. 183
. 191

О ГЛАВЛЕНИЕ

7

9. Метод дифференциальных связей
193
9.1. Метод дифференциальных связей для обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.1.1. Описание метода. Дифференциальные связи первого порядка 193
9.1.2. Дифференциальные связи произвольного порядка. Общий
метод исследования на совместность двух уравнений . . . . . 197
9.2. Описание метода дифференциальных связей для уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.2.1. Предварительные замечания. Простой пример . . . . . . . . . 200
9.2.2. Общее описание метода дифференциальных связей . . . . . . 202
9.3. Дифференциальные связи первого порядка для уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.3.1. Эволюционные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . 204
9.3.2. Уравнения второго порядка гиперболического типа . . . . . . 208
9.4. Дифференциальные связи второго порядка для уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.4.1. Дифференциальные связи второго порядка и эквивалентные
более простые дифференциальные связи . . . . . . . . . . . . 210
9.4.2. Иллюстративные примеры использования дифференциальных связей --">