Андрей Дмитриевич Полянин - Лекции по нелинейным уравнениям математической физики

ut = [f(u)ux]x + g(u)

А. Д. ПОЛЯНИН

ЛЕКЦИИ
ПО НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

uyuxy − uxuyy = uyyy

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

А. Д. ПОЛЯНИН

ЛЕКЦИИ
ПО НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Москва
ИПМех РАН
2023

УДК 517.9
ББК 517.2
П 54
Полянин А. Д. Лекции по нелинейным уравнениям математической
физики. — М.: Издательство «ИПМех РАН», 2023. — 256 с. — ISBN 978-5-91741283-2.
Излагаются эффективные аналитические методы построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и механики. Описаны
методы обобщенного и функционального разделения переменных, прямой метод построения редукций (метод Кларксона — Крускала), метод поиска слабых
симметрий, метод дифференциальных связей и некоторые другие методы. Показано, что точные решения одних уравнений нередко могут служить основой
для построения решений более сложных родственных уравнений. Исследуются
уравнения массо- и теплопереноса, гидродинамики, теории волн, нелинейной
акустики, теории горения, нелинейной оптики и др. Во всех разделах рассматриваются примеры использования методов для построения точных решений
конкретных нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Приведены многочисленные задачи и упражнения, позволяющие получить практические навыки применения рассматриваемых методов.
Изложение материала ведется в соответствии с принципом «от простого
к сложному». Многие разделы можно читать независимо друг от друга, что
облегчает работу с материалом.
Книга предназначена для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся в
различных областях прикладной математики, механики и физики. Ее теоретический материал и упражнения могут быть использованы в курсах лекций
по прикладной математике и математической физике, для чтения спецкурсов и
для проведения практических занятий.
Табл. 16. Ил. 8. Библиогр. 116 назв.
Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математических наук А. В. Аксенов
доктор физико-математических наук С. А. Лычев

ISBN 978-5-91741-283-2

© А. Д. Полянин, 2023

Оглавление
Предисловие

9

Некоторые обозначения и замечания
1. Введение. Методы прикладной математики
1.1. Точные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Краткая информация . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Более подробная информация . . . . . . .
1.2. Асимптотические методы (методы возмущений) .
1.2.1. Краткая информация . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Более подробная информация . . . . . . .
1.3. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Краткая информация . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Более подробная информация . . . . . . .
1.4. Приближенные аналитические методы . . . . . .
1.4.1. Краткая информация . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Более подробная информация . . . . . . .
1.5. Комбинирование теоретических методов . . . . .
1.6. Точные решения и методы решения нелинейных
матической физики . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
уравнений мате. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 28
. 29

2. Элементарная теория инвариантов: Алгебраические и обыкновенные дифференциальные уравнения
2.1. Симметрии. Общая схема использования инвариантов для решения
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Симметрии. Преобразования, сохраняющие вид уравнений.
Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Общая схема использования инвариантов для решения математических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Алгебраические уравнения и системы уравнений . . . . . . . . . . .
2.2.1. Алгебраические уравнения, содержащие четные степени . . .
2.2.2. Возвратные уравнения и их обобщения . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Системы алгебраических уравнений, симметричные относительно перестановки аргументов . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Преобразования, сохраняющие вид уравнения, и их инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Процедура понижения порядка ОДУ при n > 2 (приведение
ОДУ к разрешимому виду n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . .
3

13
13
13
14
18
18
18
22
22
23
25
25
26
27

31
31
31
34
34
34
35
37
38
38
40

4

О ГЛАВЛЕНИЕ

2.3.3. Используемые преобразования. Процедура --">