Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.7. Теория упругости

ко­
торый мы обозначим буквой и:
(i . i )
Вектор и называют вектором деформации ( и л и вектором сме­
щения). Координаты х\ смещенной точки являются, конечно,
функциями от координат Х{ той же точки до ее смещения. По­
этому и вектор деформации является функцией координат Х{.
Задание вектора и как функции от Х{ полностью определяет де­
формацию тела.
При деформировании тела меняются расстояния между его
точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точ­
ки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был d xi ,
то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя
точками будет dx\ = dxi + du{. Само расстояние между точками
до деформирования было равно

а после деформирования

1) Основные уравнения теории упругости были установлены Коши и Пуас­
соном в 20-х годах XIX века.

10

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ГЛ . I

Согласно общему правилу написания сумм имеем
dl2 = dx2, dl'2 = dx12 = (dxi + dui)2.
Так как du{ = ^ - d x k , то перепишем d l r2 в виде
дхк

dl'2 = dl2 + 2 ^ dxi dxk + ^ ^ d x k dxi.
dxk

d x k dxi

Поскольку во втором члене оба индекса г и к являются немыми,
их можно переставить и соответственно записать этот член в
явно симметричном виде
/9 ^

диЛ d dx

\дхк

OxiJ

К

В третьем же члене поменяем местами индексы г и I. Тогда окон­
чательно получаем
d l 12 — d l 2 + 2 Щк dx{ d x k ,

(1.2)

где
2 \дхк
дхг дхг дхк)
V '
Этими выражениями определяется изменение элемента длины
при деформировании тела. Тензор Щк называют тензором де­
формации; по своему определению он симметричен:

u ik = u ki-

(l* ^)

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тен­
зор Щк в каждой данной точке к главным осям. Это значит,
что в каждой данной точке можно выбрать такую систему ко­
ординат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент
Щк отличны от нуля только диагональные компоненты и ц , ^ 2 2 ,
г^зз. Эти компоненты — главные значения тензора деформации —
обозначим через и ^ \ и^2\ и ^ . Надо, конечно, помнить, что если
тензор Щк приведен к главным осям в некоторой точке тела, то
он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.
Если тензор деформации приведен в данной точке к главным
осям, то в окружающем ее элементе объема элемент длины ( 1 .2 )
приобретает вид

dl12 = ( Sik +

2 щк) dxi

dxk =

= (1 + 2и(1)) dx\ + (1 + 2и(2)) dxi + (1 + 2« (3)) dx
Мы видим, что это выражение распадается на три независимых
члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформа­
цию можно рассматривать как совокупность трех независимых

ТЕНЗО Р ДЕФОРМ АЦИИ

11

деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлени­
ям — главным осям тензора деформации. К аж дая из этих де­
формаций представляет собой простое растяжение (или сжатие)
вдоль соответствующего направления: длина dx\ вдоль первой
из главных осей превращается в длину
dx[ = л/ 1 Ч- 2 u ^ d x i
и аналогично для двух других осей. Величины
\ / l + 2«W - 1
представляют собой, следовательно, относительные удлинения
(dx't — dxi)/dxi вдоль этих осей.
Практически почти во всех случаях деформирования тел де­
формации оказываются малыми. Это значит, что изменение лю­
бого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим
расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы
по сравнению с единицей. Ниже мы будем рассматривать все де­
формации как малые.
Если тело подвергается малой деформации, то все компонен­
ты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относи­
тельные изменения длин в теле, являются малыми. Что же каса­
ется вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях
большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например,
длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его
концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и
сжатия внутри самого стержня будут незначительными.
За исключением таких особых случаев 1), при малых дефор­
мациях является малым также и вектор деформации. Действи­
тельно, никакое «трехмерное» тело (т. е. тело, размеры которого
не специально малы ни в каком направлении) не может быть,
очевидно, деформировано так, чтобы отдельные его части силь­
но переместились в пространстве, без возникновения в теле силь­
ных растяжений и сжатий.
Тонкие стержни будут нами рассмотрены отдельно в гл. II.
В остальных же случаях, следовательно, при малых деформаци­
ях смещения щ , а с --">