Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.7. Теория упругости

ними и их производные по координатам,
малы. Поэтому в общем выражении (1.3) можно пренебречь по­
следним членом как малой величиной второго порядка. Таким
образом, в случае малых деформаций тензор деформации опре­
деляется выражением
(1.5)
х) Кроме деформаций тонких стержней сюда относятся изгибы тонких
пластинок в цилиндрическую поверхность. Следует исключить также слу­
чай, когда «трехмерное» тело наряду с деформацией поворачивается как
целое вокруг некоторой оси на конечный угол.

12

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ГЛ . I

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений
главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь
с точностью до величин высших порядков
у/\ + 2 u( 0 -

1

и u (i),

т. е. непосредственно главным значениям тензора
Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объ­
ема dV и определим его величину d V f после деформирования
тела. Д ля этого выберем в качестве осей координат главные оси
тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы
длины dx 1 , dx 2 , dx 3 вдоль этих осей после деформирования пе­
рейдут в dx[ = (1 + u ^ ) d x \ и т. д. Объем dV есть произведе­
ние d x \ d x 2 dx%, объем же dV' равен dx^dx^dx^. Таким образом,

dV' = dV{ 1 + м(1))(1 + u(2))(l + u(3)).
Пренебрегая величинами высших порядков малости, находим от­
сюда
dV' = dV{ 1 + u(1) + и (2) + м(3)).
Но сумма it! - 1 -1 + и ^ + и/ 3 -1 главных значений тензора есть, как известно, его инвариант и равна в любой системе координат сумме
диагональных компонент иц = г^ц + U22 + ^ззТаким образом,

d V ' = dV(l + ua).

(1.6)

Мы видим, что сумма диагональных компонент тензора дефор­
мации дает относительное изменение объема (dV' — d V ) / d V .
Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора
деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндри­
ческих координатах. Приведем здесь для справок соответствую­
щие формулы, выражающие эти компоненты через производные
от компонент вектора смещения в тех же координатах. В сфери­
ческих координатах г, #, ср имеем

13

ТЕНЗОР НАПРЯЖ ЕНИЙ

В цилиндрических координатах г, --">