Teacher.elementary.school - Методика преподавания математики в начальной школе

Teacher.elementary.school Методика преподавания математики в начальной школе

Умозаключения

I. Умозаключения.

1. Понятие «умозаключения».

2. Виды умозаключений:

а) дедуктивное,

б) неполная индукция,

в) аналогия.

II. Схемы дедуктивных умозаключений.

III. Способы математического доказательства.

1. Понятие доказательства.

2. Основные законы построения дедуктивных умозаключений.

3. Виды доказательств:

а) прямое,

б) косвенное,

в) полная индукция.

В математике знания чаще получают в процессе рассуждений. Для того, чтобы знание было истинным, рассуждение должно строится в соответствии с правилами, лежащими в основе логики. Считают, что рассуждения используют при доказательствах. Для обучения учащихся учитель должен владеть глубокими знаниями построения верных рассуждений, о структуре и способах доказательств.

В логике понятие рассуждения заменяется словом «умозаключение».

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.

Рассмотрим образцы умозаключений, используемых в начальном курсе математики:

1) При выполнении устных вычислительных приемов с числами учащиеся применяют различные математические понятия, в том числе и понятия, связанные с десятичной системой счисления, которой мы пользуемся в современной математике. Например, в случае 42 + 6 учащиеся должны владеть разрядным составом двузначного числа. Объясняя способ вычисления, дети говорят: «Число 42 – двузначное. Все двузначные числа можно представить в виде суммы двух разрядных слагаемых – десятков и единиц. Следовательно, 42 = 40 + 2».

Это умозаключение состоит из трех предложений. Первое и второе предложение – посылки:

1-ое предложение – частная посылка, она дает характеристику числу 42;

2-ое предложение – посылка общего характера, которая указывает на особенность двузначных чисел – состоят из двух разрядов (десятков, единиц).

3-е предложение является заключением, оно формулируется после слова «следовательно», и также носит частный характер, т.к. в нем идет речь о конкретном числе – 42.

2) При ознакомлении учащихся с переместительным (коммутативным) свойством умножения создается проблемная ситуация, в процессе разрешения которой учащиеся самостоятельно формулируют свойство:

На сколько квадратов разделен каждый прямоугольник? Посчитай разными способами. Объясни свои действия.

Учащиеся с помощью системы вопросов учителя предлагают по два способа вычисления к каждому из рисунков:

             4 × 3 = 3 × 4             9 × 3 = 3 × 9.

Затем учащиеся делают вывод: для всех натуральных чисел верно равенство

а × в = в × а.

В данном умозаключении посылками являются два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется переместительное свойство. Заключением же в этом случае является утверждение общего характера – от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

3) При ознакомлении младших школьников со случаями деления на однозначное число, дети должны уяснить, что деление связано с умножением. А следовательно, чтобы найти значение выражения, например 56 : 7, нужно знать табличные случаи умножения числа 7. На какое число нужно умножить 7, чтобы получить 56 – делимое:

«Мы знаем, что 7 × 8 = 56. Если произведение разделить на один из множителей, получится другой множитель. Следовательно, 56 : 7 = 8».

Таким же образом, учащиеся рассуждают, находя результат в случаях 27 : 9, 36 : 6 и т.д.

Рассмотрев эти случаи, мы видим, что умозаключения бывают разными. В логике рассмотренные нами называют дедуктивными.

Дедуктивными называют умозаключения, в которых посылки и заключения находятся в отношении логического следования.

Посылки дедуктивного следования обозначают так – А1 , А2 , …, Аn , а заключение буквой В. Схематично само умозаключение можно представить так: А1, А2, …, Аn => В. Часто используют и такую запись:

А1 , А2 , …, Аn .

В

В ней черта обозначает слово «следовательно».

В дедуктивном умозаключении при истинности посылок, истинно и заключение.

Во втором случае рассматриваются две посылки частного характера, показывающие, что некоторые натуральные числа обладают переместительным свойством при выполнении умножения. На этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все --">