Виталий Афанасьевич Жилкин - Исследование деформированного состояния образцов из древесины в MSC Patran-Nastran

«однородного» напряженного состояния, 10×10×5 мм3,
размеры наименьшего элемента, находящегося
в области отверстия, 1,3×2,27×5 мм3.
На рисунках 3, 4, приведены изополя напряжений σ x , τ xy , наблюдаемые на внешних поверхностях пластин (вверху – древесина, внизу –
дуралюмин). Из картин полос следует, что MSC
Patran качественно правильно отображает влияние анизотропии на распределение напряжений.
Распределение напряжений σθ по контуру
отверстия в бесконечной пластине из изотропного материала описывается выражением [5]:

=
σθ p

Eθ
 − k cos 2 θ + (1 + n ) sin 2 θ  ,
E1

где Eθ определяется по формуле:
1 sin 4 θ  1 2µ12  2
cos 4 θ
2
.
=
+
−
 sin θ cos θ +
Eθ
E1
E1 
E2
 G12
В опасном сечении при θ = π 2 max σθ =
= p(1 + n) (см. (3)).

σθ= p (1 − 2cos 2θ ) ,

Рис. 3

Рис. 4

45

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

MSC Patran в приложении Results по– анизотропный материал –
зволяет вывести информацию о напряжениях
0,943007
=
k = 4,71 вместо k = n + 1 = 5,571 ,
σθ вдоль контура отверстия: Action>Create;
0,2
Object>Cursor; Method>Scalar, в текстовый
файл и затем ее обработать, например, в MathCAD. что в принципе согласуется с теоретическиНа рисунке 5 приведены полученные та- ми положениями метода конечных элементов
ким путем полярные графики напряжениях σθ (МКЭ) [7]. Кроме того, в численных решенидля изотропного (рис. 5 а) и анизотропного ма- ях практически были «потеряны» сжимающие
териалов (рис. 5 б). Сплошные кривые – чис- напряжения в окрестности полярных углов
ленные решения, пунктирные кривые – точные φ = 0° и φ = 180°: для изотропного материарешения для бесконечных пластин.
ла min σθ =−0,001335 Н/мм2, а должно быть
Из анализа графиков рисунка 5 следует, что min σθ =− p =−0,2 Н/мм2, для анизотропного
численные результаты для изотропного и анизо- материала – min σθ =−0,003377 Н/мм2, а должтропного материалов:
но быть min σθ =− p k =−0,260213 Н/мм2. Вви• качественно соответствуют теоретиче- ду малости величин численных результатов они
ским решениям;
и не отображены на графиках (рис. 5). Для повы• численные решение дают заниженные шения точности численных решений необходизначения коэффициентов концентрации напря- мо увеличивать число КЭ в области отверстий.
жений σθ :
Графики изменения величин напряжений
– изотропный материал –
σ r , σθ , τrθ вдоль контура отверстия в анизотропной пластине приведены на рисунке 6.
0,550053
Графики
распределения
напряжений
=
k = 2,75 вместо 3;
0, 2
σ x =σθ в опасном сечении пластин приведены

Рис. 6

а

б
Рис. 5

46

на рисунке 7. Напряжения определялись в центрах тяжести КЭ. Градиент изменения напряжений σθ вблизи отверстия для пластины из анизотропного материала значительно выше, чем
в пластине из изотропного материала.
Графики перемещения точек контура
в полярной системе координат приведены
на рисунке 8, из которого следует, что поперечный диаметр отверстия уменьшился на
0,00102 мм, а продольный диаметр увеличился на 0,00171 мм.
Формоизменение контура отверстия в сосновой пластине иллюстрируется рисунком 9,
где величины перемещений точек отверстия
увеличены на коэффициент K = 4·103.

Напряжения на большей части толщины
пластины распределяются равномерно (рис. 10).
Небольшие отклонения от равномерности наблюдаются вблизи внешних поверхностей пластины.
2. Растяжение пластин с упругим ядром
в виде стальной трубки
Рассмотрим исследованную ранее прямоугольную пластинку из сосны с круговым отверстием, в которое либо вклеено без натяжения
круговое ядро того же диаметра в виде стальной
трубки, либо трубка просто вставлена в отверстие. Внутренний диаметр трубки d = 9 мм.
К правому торцу пластины приложено усилие P = 15 кН, равномерно распределенное по
площади сечения
p
=

P
15000
=
= 2 Н/мм2.
b ⋅ t 150 ⋅ 50

(4)

2.1. Трубка вклеена в пластину без натяжения
Вставка в отверстие упругого ядра в общем
случае уменьшает концентрацию напряжений
в древесине в опасном сечении пластины. Теоретические исследования подобной задачи для
бесконечной пластины из березовой фанеры
с упругим и жестким ядрами в отверстии показали, что если ядро жесткое, то наибольшим
из трех является напряжение σ r на концах диаметра, параллельного растягивающим усилиям; при отсутствии ядра наибольшим является

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

47

В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 70

напряжение σθ на концах диаметра, перпендику- конечной пластине с --">