Роберт Валерьевич Майер - Решение физических задач в электронных таблицах Excel: учебное пособие

c.
1.10. Точка совершает вынужденные колебания, описываемые
уравнением x(τ ) = 13(1 − e −0,05⋅τ ) sin(8τ + 0,8) (см). Постройте графики
зависимостей координаты, скорости и ускорения точки с течением времени, а также фазовую кривую в осях x и υ x . Определите координату,
скорость и ускорение точки в момент τ ' = 4,2 c.
1.11. Тело совершает затухающие колебания, описывающиеся
уравнением: x(t ) = Ae − β ⋅τ sin(ω ⋅ τ + ϕ 0 ) . Постройте графики зависимостей координаты x и проекции скорости υ x от времени, а также фазовую кривую при различных значениях амплитуды A , частоты ω , началь10

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel

ной фазы

ϕ 0 и коэффициента затухания β . Например, A = 10 см, ω = 5

рад/с, ϕ 0 = 1,3 рад, β = 0,1 с-1.
1.12. В результате сложения двух колебаний в одном направлении
точка движется по закону x(τ ) = 12 sin(3,3τ + 0,6) + 8 sin(3,6τ − 0,2) (см).
Постройте графики зависимости координаты, скорости и ускорения точки от времени. Определите значения x , υ x и ax в момент τ ' = 3,4 с.
1.13. Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих в одном направлении. Их уравнения: x1 (τ ) = 12 sin(ω1 ⋅ τ − 0,3) и

x2 (τ ) = 9 sin(ω2 ⋅ τ + 1,7) . Получите графики результирующих колебаний в
следующих случаях: 1) ω1 = 4,3 рад/c и ω2 = 4,4 рад/c; 2) ω1 = 4,3 рад/c и

ω2 = 4,8 рад/c; 3) ω1 = 4,3 рад/c и ω2 = 5,3 рад/c. Для каждого случая определите период биений.
1.14. Точка колеблется по закону x(τ ) = 12 sin(5τ − 1,3) (см). Определите первые три момента времени, при которых x = −3,2 см. Найдите
скорость и ускорение точки в эти моменты времени.
1.15. Точка колеблется по закону x(τ ) = 23e − 0,05τ sin(2,4τ − 0,3) см.
Определите первые три момента времени, при которых x = 8 см. Найдите скорость и ускорение точки в эти моменты времени.
1.16. Точка колеблется по закону x(τ ) = 15e − 0,04τ sin(3,2τ + 0,4) (см).
Определите первые три момента времени, при которых υ x = −16 см/с.
Найдите координату и ускорение точки в эти моменты времени.

11

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel
1. Кинематика точки:
одномерное движение

3. Динамика:
одномерное движение

Содержание

2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ: ДВУМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
2.1. Камень брошен со скоростью υ 0 = 17 м/c под углом α к горизонту. Рассчитайте его координаты x и y , проекции скорости υ x и υ y ,
модуль скорости υ , угол γ между вектором скорости и горизонталью,
тангенциальное aτ и нормальное an ускорения в момент τ '= 1,3 с.
Запишем формулы, позволяющие определить искомые величины:

x = υ0 cos α ⋅τ ,

y = υ0 sin α ⋅τ − gτ 2 / 2 ,

υ x = υ0 cos α , υ y = υ0 sin α − gτ , υ = υ x2 + υ y2 ,
γ = arctg (υ y / υ x ) ,

an = g cos γ ,

aτ = g sin γ .

Для того чтобы можно было изменять исходные данные, задаваемые значения начальной скорости υ0 и угла α следует ввести в
отдельные ячейки, например M2 и M3. Чтобы перевести градусы в
радианы, в ячейку N3 вводят формулу: “=M3*3,1415/180”. Для решения
задачи в Excel создается таблица; содержимое ее ячеек представлено
в табл. 2.1. Получающиеся результаты приведены на рис. 2.1.
Таблица 2.1
Ячейки

Величина

Содержимое

B1, B2, B3, …

τ

0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; 1,2 ...

C3

=$M$2*COS($N$3)*B3

D3

x
y

=$M$2*SIN($N$3)*B3-9,8*B3*B3/2

E3

υx

=$M$2*COS($N$3)

F3

υy

=$M$2*SIN($N$3)-9,8*B3

H3

υ
γ

=ATAN(F3/E3)*180/3,1415

I3

an

=9,8*COS(ATAN(F3/E3))

J3

aτ

=9,8*SIN(ATAN(F3/E3))

G3

=КОРЕНЬ(E3*E3+F3*F3)

12

Майер Р. В. Решение физических задач в электронных таблицах Excel

Рис. 2.1. Расчет движения камня, брошенного под углом к горизонту
2.2. Камень брошен со скоростью

υ0 = 13 м/c под углом α = 54 0 к

горизонту. Рассчитайте его координаты x и y , проекции скорости υ x и

υ y , модуль скорости υ , угол γ между вектором скорости и горизонталью, тангенциальное aτ и нормальное an ускорения в моменты времени

τ i = t ⋅ ∆τ , ∆τ = 0,2 с, t = 1, 2, 3,...

2.3. Камень брошен горизонтально со скоростью

υ0 = 14 м/c с

башни высотой 23 м. Рассчитайте его координаты x и y , проекции скорости υ x и υ y , модуль скорости υ , угол γ между вектором скорости и
горизонталью, тангенциальное aτ и нормальное an ускорения в моменты времени τ i = t ⋅ ∆τ , ∆τ = 0,2 с, t = 1, 2, 3,...

2.4. Стержень ОА длиной 14 см колеблется относительно точки О
по закону ϕ (τ ) = 1,5 sin(2 ⋅τ ) рад. Постройте графики зависимости модуля
линейной скорости точки A, а также нормального, тангенциального и
полного ускорений. Определите значения этих величин в момент, когда:
1) маятник проходит положение равновесия; 2) находится в крайнем положении; 3) отклонен на угол 0,7 рад. Нарисуйте --">