Виталий Афанасьевич Жилкин - Расчет на прочность и жесткость пространственного бруса при сложном сопротивлении в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

вызванных каждым компонентом нагрузки в отдельности.
Проверка прочности при сложном напряженном состоянии осуществляется на
основании данных о наибольшем суммарном напряжении.
2.3.1. Косой изгиб
Если все нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб называется косым. Изогнутая ось
балки в этом случае не является плоской кривой.
Обычно косой изгиб приводят к двум плоским изгибам, для чего нагрузки, действующие в произвольных продольных плоскостях, раскладывают на составляющие,
лежащие в главных плоскостях xoy и xoz . При этом в сечении возникает четыре
компоненты внутренних усилий: Qy , Qz , M y и Mz .

\

Рис.4
11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Напряжения в точках любого сечения, расположенных в первом квадранте системы координат yoz (рис.4, а), при одновременном действии M y и Mz определяются
формулой

σx =

My
Jy

z+

Mz
y,
Jz

(10)

где J y и J z - осевые моменты инерции; в формуле (10) необходимо учитывать знаки
координат y и z .
Уравнение нейтральной линии
My
M
zo + z y o = 0 ,
(11)
Jy
Jz
где zo и y o - координаты точек нейтральной линии.
Уравнение (11) - прямая линия, проходящая через начало координат. Положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона β к главной оси y :
Jy
tgβ = −
tgα .
(12)
Jz
Угол α определяет положение силовой плоскости (линии, см. рис.4). Из зависимости (12) следует, что в общем случае косого изгиба, когда J y ≠ J z , нейтральная
линия не перпендикулярна к силовой линии.
Проверку прочности следует проводить в тех сечениях, где изгибающие моменты My и Mz одновременно велики. Таких сечений в общем случае сложного изгиба
может быть несколько.
Если опасное сечение известно, то в нем нужно отыскать опасные точки. Очевидно, при сложном изгибе σ max будут в точках, наиболее удаленных от нейтральной
линии (точки А и В на рис.4). Так как эти точки лежат на поверхности бруса, то касательные напряжения в них равны нулю, т.е. в этих точках реализуется линейное напряженное состояние. Условие прочности будет иметь вид
My
M
σ x ,max =
z + z y ≤ [σ ] .
(13)
Jy
Jz
Определение размеров сечения в случае неплоского изгиба производят методом
подбора, задаваясь различными отношениями моментов сопротивлений. Касательные
напряжения могут быть определены по формуле Журавского.
Перемещения определяются по принципу независимости действия сил. Если v
- прогиб в направлении главной оси y ; w - прогиб в направлении главной оси z , то
величина полного прогиба в любом сечении балки может быть получена геометрическим суммированием прогибов в разных плоскостях:
f = v2 +w2 .
(14)
Направление полного прогиба перпендикулярно к нейтральной линии (см.

рис.4).
2.3.2. Изгиб с растяжением (сжатием)
Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) имеет место при продольнопоперечном действии нагрузок; при внецентренном растяжении (сжатии).
Если на балку действуют и продольные и поперечные нагрузки, пересекающие
ось бруса, то в общем случае в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты
12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

My и Mz в двух плоскостях, поперечные силы Qy и Qz , а также продольная сила

N . Таким образом, в этом случае будет сложный изгиб с растяжением или сжатием.
Нормальное напряжение в произвольной точке сечения определяется формулой
N My
M
σx = +
z+ z y .
(15)
F Jy
Jz
Изгибающие моменты, продольную силу и координаты точки, в которой вычисляют напряжения, подставляют сюда с их знаками.
Уравнение нейтральной линии
N My
M
+
zn + z y n = 0 ,
(16)
F Jy
Jz
где z n и y n - координаты точек нейтральной линии.
Уравнение (16) - прямая линия, не проходящая через начало координат. Положение нейтральной линии определяется отрезками, отсекаемыми на главных центральных осях поперечного сечения (рис.5):
NJ y
Nh 2 
zn = −
=−
;
FM y
12M y 
(17)

2
NJ z
Nb 
yn = −
=−
.
FM z
12M z 

Рис.5
Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил, можно считать,
что напряженное состояние в опасной точке линейно. Следовательно, условие прочности имеет простейший вид:
N My Mz
σ x ,max = +
+
≤ [σ ] .
(18)
F Wy Wz
2.3.3. Изгиб с кручением
Силы, действующие на валы (давление на зубья шестерен, натяжение ремней,
собственный вес вала и шкивов и т. п.), вызывают в поперечных сечениях валов следующие --">