Виталий Афанасьевич Жилкин - Расчет на прочность и жесткость пространственного бруса при сложном сопротивлении в программных продуктах MathCAD, SCAD и MSC.Patran-Nastran-2005: методические указания

изгиб или сложное сопротивление, но
главным образом в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие.
При простом растяжении в нормальных сечениях, достаточно удаленных от точек приложения сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно, а касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти сечения являются
главными площадками, а главные напряжения определяются по формуле
N
σx = ,
(1)
F
где F - площадь поперечного сечения бруса.
2.1.2. Плоское напряженное состояние
При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее
часто приходится иметь дело с плоским (двухосным) напряженным состоянием. Оно
встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении.
Если малый элемент вырезан двумя парами ортогональных плоскостей, перпендикулярных плоскости xoy , и по его граням действуют напряжения σ x , σ y , τ xy , то
главные напряжения определяются по формуле
2

σx −σy 
2
 + τ xy
σ max =
± 
,
2
2


min
а ориентация площадок, по которым они действуют, по одной из зависимостей
σ
−σx
tgα max = max
;

(3)

tg 2α гл

(4)

σx +σy

τ xy
2τ xy
=
.
σx −σy

(2)

Если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (2), окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать σ 1 и σ 3 . Если же
оба главных напряжения окажутся отрицательными, их обозначают σ 2 и σ 3 .
Отрицательному значению α соответствуют углы, отложенные по часовой
стрелке.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.1.3. Объёмное напряженное состояние
В задачах сопротивления материалов трехосное, или объемное, напряженное
состояние встречается редко.

2.2. Критерии прочности
Наиболее просто оценка прочности детали по известному напряженному состоянию решается для простых видов деформации, в частности для одноосных напряженных состояний, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений
легко установить экспериментально. Под опасными напряжениями понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или
появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала).
Таким образом, условие прочности для одноосного напряженного состояния
принимает вид
(5)
σ 1 ≤ [σ + ] ; σ 3 ≤ [σ − ] ,
где [σ + ] , [σ − ] - допускаемые напряжения соответственно при растяжении и сжатии.
При сложном напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три
главных напряжения не равны нулю, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений
σ 1,σ 2 ,σ 3 в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за
трудности постановки опытов, но и из-за большого объема испытаний.
В связи с этим для оценки предельных величин главных напряжений вводят
критерии прочности – гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала
того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом
напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение. Таким образом,
введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением, и установить при этом такое
эквивалентное σ экв (расчетное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса.
В настоящее время наибольшее распространение получили пять теорий прочности.



Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).
Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Предполагается, что нарушение
прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения σ пред . Последнее устанавливается при простом растяжении или сжатии на образцах из данного материала. Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает при --">