Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

сделанная около 1950 года.

Рассмотрим пример, который впервые упоминается в статьях итальянского геометра Эудженио Бельтрами (1835–1900). Пусть пространство, в котором находятся объекты, заключено внутри круга (не включая его границу). Предложим следующее простое соответствие: когда Евклид говорит о «точке», мы будем представлять точки внутри круга, а когда он говорит о «прямой линии», мы будем представлять себе отрезки, начало и конец которых лежат на границе круга. В такой трактовке две «точки» определяют единственную «прямую линию» и, следовательно, первый постулат Евклида будет выполняться. Перед тем как рассмотреть пятый постулат, напомним, что две «прямые» параллельны, если они никогда не пересекаются.

Возьмем произвольную «точку» внутри круга, например его центр, и произвольную «прямую линию». Соединив «точку» с концами отрезка («прямой линии»), получим две «прямые», которые проходят через нее и параллельны исходной прямой, так как гипотетические точки пересечения этих прямых находятся на границе круга, а она не принадлежит пространству! Следовательно, в модели Бельтрами постулат о параллельности прямых не выполняется.

Неевклидова модель Эудженио Бельтрами.

Обратите внимание, что выше слова «точка» и «прямая линия» в одних случаях заключены в кавычки, а в других — нет. Таким образом мы проводим различие между абстрактными понятиями «точки» и «прямой линии», которые могут иметь различные толкования, и реальными точками и прямыми, на основе которых были определены эти понятия. Тот, кто считает, что описанная нами неевклидова модель не более чем математическая игра, возможно, изменит свою точку зрения после краткого экскурса в биологию. Расстояние, видимое человеческим глазом, в лучшем случае составляет несколько километров. Как следствие, все прямые, которые пересекаются за границей видимой нами области, выглядят для нас одинаково, а все, что мы видим вокруг себя, в достаточной мере соответствует модели, предложенной Бельтрами. В конце концов, какой будет разница между двумя прямыми, которые пересекаются в Нью-Йорке, и прямыми, которые пересекаются в Лос-Анджелесе, для европейца? Маленький мир человека не описывается законами геометрии Евклида. Однако человеческая философия не ограничивается этим маленьким миром.

Мы выбрали модель Бельтрами произвольно, из множества возможных. В том же самом пространстве мы можем назвать «прямыми» дуги окружности — в этом случае не будет выполняться первый постулат, так как две данные точки можно будет соединить неограниченным числом способов. Чтобы однозначно определить окружность, требуются три точки, и именно возможность выбрать третью точку произвольно и будет препятствовать выполнению постулата. Если в некоторых моделях первый постулат выполняется, а в других — нет, то истинность утверждения, согласно которому через две «точки» проходит единственная «прямая», зависит от значения понятий «точка» и «прямая», и задаваться вопросом о его истинности столь же нелепо, как и размышлять об истинности пророчества «В году А родится В», где читатель может заменить А и В произвольными значениями.

Пространство, в котором две разные прямые соединяют точки А и В и в котором не выполняется первый постулат Евклида.

Именно это мы имели в виду, когда говорили, что Эйнштейн очень четко понимал исключительно формальный характер геометрии. Несмотря на это его интересовали не логические отношения между понятиями, а конкретный вопрос о том, как объяснить действие сил на расстоянии, не используя понятие эфира. Для Эйнштейна «точками» были точки пространства, положение которых определялось координатами, указывающими их местоположение и момент времени, когда мы их рассматриваем. «Прямыми» для него были кратчайшие пути между двумя точками, вдоль которых движется луч света. Если для того чтобы объяснить природу пространства, физику нужно отказаться от постулата о --">