Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1

-Г «и/а 2, а 3? • • • » а, • • •
2
•...
• • = a —a„_,
О'п - 1 = d
а9- а л—а*—а9=

• •

Ь н Ьп* Ь ‘
1» ^ г » «*3» • • • »

Ь г _ Ъ 3 _

Ь ~ Ь

а х—а, а л = а„_! + d, п > 2

_

~ - ' ~

(bl 5^ 0,

Ь

п

ъ

п- 1

- V

^ О)

-4—4-

ап= а, + (п - l)d
i

п 5=2

Г - l _ I L .- l._ i :

а„ =
rrr

Ь, = ь, bn= bn. t q,

-1 +

+1

О
(рис. 6), а на промежутке (~°°; -1) — не­
X
х
-1
1
2
равенство f(x) > 0 (рис. 7).
-1
+
Подведём итоги. Знаки многочлена
M in im u m
jimiwiiL
f(x)
в выделенных промежутках таковы,
"х
1
-1
2
как показано на рис. 8. Нас интересуют
те промежутки, на которых выполняет­
ся неравенство f(x) > 0. Оно выполняется на интервале (-1; 1) и на
открытом луче (2; +°о).
-1

X

1

2

X

-

Гис. 8

[ Н Н Н -1 < х <

х > 2.

Решить неравенство (х - 1)(лс + 1)(х - 2) < 0.

/'uc, 9

Воспользуемся геометрической иллюстрацией предыдуще­
го примера (см. рис. 8), но внесём в неё два изменения.
Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х вы­
полняется неравенство f(x) < 0, нам придётся выбрать промежут­
ки (-°°; -1) и (1; 2). Во-вторых, нас
тнштнщ ~ ШШШШ '
устраивают и те точки, в которых выД
* 2
полняется равенство f(x) = 0. Это точ­
ки -1, 1, 2, отметим их на рисунке тём­
ными кружочками. На рис. 9 представлена геометрическая иллю­
страция решения, от которой нетрудно перейти к аналитической
записи.
* < - 1; 1 < * < 2 .

ПРИМЕР 7
Решить неравенство 2х - Зх3 - х 2 < 0.
Решение

Удобнее расположить члены неравенства в левой части по
порядку убывания степеней. Кроме того, как показывает
опыт, желательно, чтобы старший коэффициент был положитель­
ным. Но для этого нужно обе части неравенства умножить на -1
и изменить знак неравенства: Зх3 + х 2 - 2х > 0 Далее имеем:
х(3х2 + х - 2) > 0. Найдём корни квадратного трёхчлена З*2 + х —2,

ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

-1 ± VI + 4 • 2 • 3
; х, = —, х2 = -1 . Теперь этог
О
2 3
трёхчлен можно разложить на множители:
а именно: х12 =

ш

З * 2 + х - 2 = з ( х - | j( x + 1).

Интересующее нас неравенство теперь перепишем в следующем виде
Зх( х - | )(х + 1) > 0.
Отметим на числовой прямой точки 0, —, —1. Знаки выраже
О

ния Зх| х - ^ J(x + 1) на полученных промежутках указаны на
_
+
_____ , g(x), а
множество В — решение неравенства р(х) < h(x). Что явля/(*) > g(x),
ется решением совокупности неравенств
р(х) < h(x)?
f(x) > g{x),
Оказалось, что
р(х) < h(x).
неравенство f(x) > g(х) выполняется при любых значениях
переменной, а решением неравенства р(х) < h(x) является
множество А. Что вы можете сказать о решении заданной
совокупности неравенств?
f(x) > g{х),
4. Дана совокупность неравенств
Оказалось, что
р(х) < h{x).
неравенство f(x) > g(x) не имеет решений, а решением не­
равенства р(я) < h(x) является множество А. Что вы може­
те сказать о решении заданной совокупности неравенств?

3. Дана совокупность неравенств

Н ЕРА В ЕН СТВ А С М ОДУЛЯМ И

Основные понятия
В курсе алгебры 8-го класса вы решали уравнения с модулями и, на­
верное, помните, что главное при решении таких уравнений — уметь
«раскрывать» модули, пользуясь определением: если а > 0, то |а{ = а;
если а < 0, то |а| = -а.
При решении неравенств с модулями, кроме указанного опреде­
ления, используются следующие утверждения.

■I
Если с > О, то неравенство |/’(jc)| < с равносильно двойному неравен­
ству - с < f(x) < с.

T U ^ ^ T T pABEHCTBA. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

ТЕОРЕМА 2
Если с > О, то неравенство \f(x)\ > с равносильно совокупности нера'
венств f(x) < -с; f(x) > с.

ТЕОРЕМА 3
Если обе части неравенства f(x) < g(x) принимают только неотрица­
тельные значения, то оно равносильно неравенству (fix))2 < (gix)f.

Доказательство

1. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение нераве**'
ства |Д;с) < с, т. е. верно числовое неравенство |Да)| < СЕсли Да) > 0, то |Да) = Да), и неравенство [Да)| < с можно переписав
так: 0 < Да) < с. Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а), и неравенств
|Да)| < с можно переписать так: -Да) < с, т. е. -с < Да) < 0 .
Итак, в любом случае выполняется двойное неравенство -с < /(а) 1
< с. Значит, х - а — частное решение неравенства -с < f(x) < с.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства -с < f(x)
т. е. верно числовое неравенство -с < f(b) < с. Умножив все его нас^
на -1, получим -с < -f(b) < с. Поскольку |/(&)| равен либо f(b), ли#>
-f(b), получаем, что -с < \f(b)\ < с. Левую часть этого --">