А. И. Мартыненко , В. Б. Миносцев , В. А. Ляховский - Курс математики для технических высших учебных заведений. Часть 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление. Теория поля: Учебное пособие

-
x = ρ cos ϕ sin θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos θ.
2
 0%           
  0 "   %   (ρ = ρ0 )    

 

 

    

    



 P0    L      

0110101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
10
10
10 10
10
10
101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010000
111
1010 L
0
1
0
1
0
1
0
1
000000
111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
10101010101010101010 10101010Q
0
1
0
1
0
1
10101010101010111111
0
1
0
1
000000
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
10000000
10101010101010101010111111
000000
111111
1010 101010 101010 1010 1010 10
101010p
000000
1010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010
101010101010101010111111
000000
111111
101010 101010 101010101010101010101010101010101010101010101010
10101010101010101010101010101010101010101010101010101010111111
000000
10101010101010101010101010101010
000000
10
10
10
101010101010101010101010101010101010101010101010101010111111
000000
111111
10101010101010101010101010101010101010101010101010
0
1
0
1
0
1
000000
111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
p
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
101010101010 10101010 101010101010101010100101010 10101010 1010
  

          
           
  
            
             
                   
 
!

                
  !    
 " !   G "      # 

             
  $           
     G

#   !  #   # x2 +y2 = 2
 x + y2 = 4       !    #   
x2 + y 2 = 3    $        
 
    %#    &
  ' %    $   
2

 

  &  '   

  



  

   

( )*   #     *  
  ' + ,    $ # # #    )
* - #-





  

        
          (x; y) ∈ D  
       z ∈ E 

 x y
       


    
 z          
  D
     !  D(f )   E
          
"   
E(f )
# "     !$ 
$ !
 "  
  % !  !   !   & z = f (x; y) z = z(x; y)
' "    !   

"  
  x0  y0 
!  "  z0 = f (x0 ; y0 ) z0 = z(x0 ; y0 )  & z0 = z  x=x0  (   
y=y0

 " P (x; y)
 !   "  (x; y)  ! 
 Oxy  !  $ !
 $
    
!$ 
$             " P (x; y)
   & z = f (P )  z = z(P ) #   !    
% "  !    D "  Oxy 

  )         x  y
      z = 2x + 2y      
  !"    D #    
       (x; y)      
 Oxy $   E #   
     
#    
!
  
!$ 
$ *

  "    " 

  "     ! + ! *
  %    
!
 !    ! "
  "   !
   
   !
,    
 !-   
"    z
        ! .      "     / 
 "    !
    !& z = f (x; y)

 



    

  z = x −1 y  







 


    
  
  
 Oxy     y = x 
! 
(−∞; +∞)
"    #$ # !  z
 !    %      !     
 & F (x; y; z) = 0.
' ( 
           (x; y) !
  
      ! z 






 x2 + y 2 + z 2 = R 2 

) z 
!    *   
& z = R2 − x2 − y 2  z = − R2 − x2 − y 2  + !  !
   ,  ( 
    R   
     '    ##  
  - ##

   ! (  & R2 −x2 −y 2  0 ⇔
2
2
⇔ x + y  R2   %     Oxy   R    
   
.  % !  
 z = f (x; y)
   /     0 &
1\ 2 3 4 
5 
3 43 6 7 8 9 
3
6 7 8 9  5
35 7 8 9  5
:  ! 
;       #  ! %  x 
 
 - ! %  y  
    
 #
 #$ !  z   y = 
y = 0, 3>      
 #$%
 
 & z| x=2 = 7
y=0,3
?         

      #$ #  . 

 (   $   
 
=    > @
   
   (   
!        
= %> ! 





  

    
      

            
         
    ! 
    "  
                


 

     

#           
   $% % & V       
      '   x%   y   z : V = xyz 

 ()* 
    
   --">