А. И. Мартыненко , В. Б. Миносцев , В. А. Ляховский - Курс математики для технических высших учебных заведений. Часть 2. Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление. Теория поля: Учебное пособие

Лауреат второго Всероссийского конкурса НМС по математике
Министерства образования и науки РФ «Лучшее учебное издание по математике
в номинации «Математика в технических вузах»

В. А. ЛЯХОВСКИЙ, А. И. МАРТЫНЕНКО, В. Б. МИНОСЦЕВ

КУРС МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИЧЕСКИХ
ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
Часть 2
Функции нескольких переменных.
Интегральное исчисление.
Теория поля
Под редакцией
В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря
Издание второе, исправленное

ДОПУЩЕНО
НМС по математике Министерства образования и науки РФ
в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся
по инженерно&техническим специальностям

•САНКТ-ПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР•
•2013•

ББК 22.1я73
К 93
Ляховский В. А., Мартыненко А. И., Миносцев В. Б.
К 93
Курс математики для технических высших учебных
заведений. Часть 2. Функции нескольких переменных.
Интегральное исчисление. Теория поля: Учебное пособие /
Под ред. В. Б. Миносцева, Е. А. Пушкаря. — 2-е изд.,
испр. — СПб.: Издательство «Лань», 2013. — 432 с.:
ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 9785811415595
Учебное пособие соответствует Государственному образовательному
стандарту. Пособие включает в себя лекции и практические занятия.
Вторая часть пособия содержит 25 лекций и 25 практических занятий
по следующим разделам: «Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных», «Интегральное исчисление функций одной
переменной», «Кратные интегралы», «Криволинейные интегралы и
теория поля».
Пособие предназначено для студентов технических, физикоматематических и экономических направлений.

ББК 22.1я73
Рецензенты:
À. Â. ÑÅÒÓÕÀ — äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð,
÷ëåí ÍÌÑ ïî ìàòåìàòèêå Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ÐÔ;
À. À. ÏÓÍÒÓÑ — ïðîôåññîð ôàêóëüòåòà ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è
ôèçèêè ÌÀÈ, ÷ëåí ÍÌÑ ïî ìàòåìàòèêå Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è
íàóêè ÐÔ; À. Â. ÍÀÓÌΠ— äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,
äîöåíò êàôåäðû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÌÀÈ; À. Á. ÁÓÄÀÊ — äîöåíò,
çàì. ïðåäñåäàòåëÿ îòäåëåíèÿ ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ ïîñîáèé ÍÌÑ ïî
ìàòåìàòèêå Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ÐÔ; Ó. Ã. ÏÈÐÓÌΠ—
ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÌÀÈ (Òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò), ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ,
çàñëóæåííûé äåÿòåëü íàóêè ÐÔ.

Обложка
Е. А. ВЛАСОВА
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного
разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.

© Издательство «Лань», 2013
© Коллектив авторов, 2013
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2013

 

  



 
     
    
 

    


          
       ! "  #    $
               $
         %#   # 
      & 
 

   

'  # (    )! *  # M    
*    (    + 
   #   ,
-              Ox . (
  /! Oy . (  /! Oz . (  /      #
M   
0&   .  1/
z
z
M
y
y
x
x

  

  



 231 
       
            
 23)         
            

 

    



 
         
               
  
       
 x = x0 y = y0  z = z0  
    ! 
"  #             Oyz
Oxz  Oxy
  
$     
     
         %& 
  %       
' (&  !    %        
%       
)      %   "
%     ' #       ! % M
          r  ϕ *
 " M      Oxy    z % M  +   % 
 r ϕ  z     "%     % M  ,
  *      x y z &  
-
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.

 "%           
        
 Oz (z = z0)
    .%  Oz (ϕ = ϕ0)  "% 
          Oz (r = r0) /  0
(1         $    (
   % #     
$     "%      
!   0%     ' #    
  ! % M       ρ  
  #
%     *  .
ϕ  -
θ
  2
.
ϕ % M       .  ϕ *  " M 
    Oxy3 -
θ (0  θ  π)     .   
  % M   !     Oz
40%         & 
 --">