Мария Владимировна Ткачева , Надежда Евгеньевна Фёдорова - Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 10 класс

по курсу математики» главу, посвящённую теории множеств, написал
Н. Я. Виленкин. В ней можно найти интересную подборку вопросов и заданий, имеющих прикладное значение. Приведём некоторые примеры, которые могут послужить учителю отправной
точкой для конструирования подобных вопросов.
1) Какие названия применяются для обозначения множества
животных? кораблей?
2) Как называют множество артистов, работающих в одном
театре? цветов в одной вазе?
3) Как называется множество точек земной поверхности,
равноудалённых от Северного полюса? имеющих одинаковую
долготу?
4) Коза привязана верёвкой длиной l к колечку, которое может скользить по другой верёвке, натянутой между колышками
A и B. Каково множество точек луга, до которых может дотянуться коза?
При введении понятия пустое множество необходимо подчеркнуть, что пустое множество одно — нет разных пустых множеств. При введении понятия подмножество желательно рассмотреть примеры различных по своей природе подмножеств.
Например: 1) множество прямоугольников есть подмножество
множества всех четырёхугольников; 2) множество учащихся
10 класса есть подмножество множества всех учащихся школы.
Желательно просить учащихся аналогично иллюстрировать вводимые понятия: разность множеств, дополнение множества,
объединение и пересечение множеств.
Для демонстрации широкой применимости теории множеств
в различных научных отраслях желательно напомнить учащимся, что задание множества характеристическим свойством (п. 1
параграфа) применяется в геометрии. Там множество точек, обладающих некоторым характеристическим свойством, называют
геометрическим местом точек с данным свойством. Например,
в планиметрии биссектриса угла — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от его сторон. Учащиеся самостоятельно могут привести ряд примеров геометрических мест
точек на плоскости и в пространстве.
При рассмотрении п. 3 «Числовые множества» полезно соотнести записи числовых интервалов с помощью неравенств и с
помощью множественных символов.
1
См.: Малая математическая энциклопедия / Э. Фрид, И. Пастор,
И. Рейман и др. — Будапешт: Изд-во Академии наук Венгрии, 1976. —
С. 536.

6

Например, если заданы числа a и b, причём a < b, то:
1) множество чисел, удовлетворяющих неравенству a  x  b,
называют числовым отрезком (или просто отрезком) и обозначают [a; b];
2) множество чисел, удовлетворяющих неравенству a < x < b,
называют интервалом и обозначают (a; b);
3) полуинтервалами [a; b) и (a; b] обозначают все числа,
удовлетворяющие соответственно неравенствам a  x < b и a < x  b;
4) числовыми лучами называют множества чисел, удовлетворяющих неравенствам x < a, x  a, x > a, x  a, которые соответственно обозначаются (–; a), (–; a], (a; +), [a; +).
Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы имеют конечную длину, а числовой луч имеет бесконечную длину.
Запись ответов при решении уравнений и неравенств может
быть оформлена в любой из двух предложенных форм (обычно
учащиеся используют предлагаемую в учебнике символику).
Объяснение материала можно проводить в соответствии с
текстом параграфа, а р а с п р е д е л е н и е е г о п о у р о к а м (при
наличии дополнительного времени) отражено в таблице.

Номер
урока

Упражнения
Теоретический
материал

основные
для работы
в классе
и дома

для самостоятельной
работы в классе

1

пп. 1—3

200—207

206 (3); охарактеризовать
множество точек M на
плоскости, таких, что:
1) {M: AMB = 90°},
2) {M: AM = BM = CM}

2

п. 4

208—212,
214, 216

215, 217

дополнительные

213,
218, 223

В р е з у л ь т а т е и з у ч е н и я п а р а г р а ф а учащиеся должны
з н а т ь ответы на вопросы в конце параграфа, а также у м е т ь
выполнять упражнения типа 202, 203, 205, 206, 208.
Решение упражнений
210. [1; 7] З [5; 8] = [5; 7]; [1; 7] И [5; 8] = [1; 8].
211. [0; 3] З [5; 7] = Ж; [0; 3] И [5; 7] = [0; 3] И [5; 7].
212. {–10; 1} — множество корней уравнения x2 + 9x – 10 = 0;
{1; 2} — множество корней уравнения x2 – 3x + 2 = 0; {–10; 1} З
З {1; 2} = {1}, {–10; 1} И {1; 2} = {–10; 1; 2}.
216. A = {x: |x| < 5, x О Z} = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4},
B = {x: |x – 1| < 7, x О N} = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; A З B = {1; 2; 3; 4}.
217. A = {x: x2 – 6x + 9  0} = {3}, B = {x: |x|  1, x О Z} =
= {–1; 0; 1}; A И B = {–1; 0; 1; 3}.

7

218. 1) Множество A И B И С состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В или С, и только из
них. Поэтому A И B И С = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Множество A З B З С состоит из тех и только тех --">