И. Гроссман , В. Магнус - Группы и их графы

структуры. Перед читателем развернет­
ся ряд примеров и пояснений, определений и теорем,
варьирующих одну основную тему — как группы и их
графы представляют и иллюстрируют одну из разно­
видностей математической структуры.
До сих пор мы употребляли слово «группа», не
давая читателю ни малейшего намека на то, что же
оно может означать. Если дать сразу полное фор­
мальное определение, то читатель, вероятно, останет­
ся в таком же недоумении, как и прежде. Поэтому мы

ГЛАВА 1

10

будем развивать понятие группы постепенно и начнем
с двух примеров. (Читателю следует помнить о них
во время дальнейшего первоначального обсуждения
структурных признаков группы.)
Группа А: Множество всех целых чисел, рассмат­
риваемых как числа, которые можно складывать одно
с другим. Другими словами, элементами группы А
являются целые числа {..., — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2,
3, ...}, и единственная операция, которую мы сейчас
рассматриваем, — это сложение любых двух элемен­
тов указанного множества; например, 2 + 5 —7.
Группа В: Множество всех положительных рацио­
нальных чисел, рассматриваемых как числа, которые
можно умножать одно на другое. В этом случае эле­
ментами множества являются все числа, которые мо­
жно представить в виде а!Ь, где а и b — положитель­
ные целые числа, и единственная операция, которую
мы здесь рассматриваем, — это умножение любых
двух элементов данного множества; например,
1 А= А
3

’

8

12

*

Теперь читатель познакомился с примерами групп,
но, вероятно, все еще не слишком приблизился к по­
ниманию того, что же такое группа, поскольку,
быть может, не смог сразу выделить в этих примерах
то существенное, что определяет группу. В приведен­
ном описании групп А и В некоторые слова были вы­
делены курсивом, чтобы подчеркнуть основные струк­
турные признаки, присущие всем группам, а именно:
1) наличие множества элементов и 2) наличие бинар­
ной операции:
группа Л — все целые числа,
группа В — все положительные
рациональные числа;

{

( группа А — сложение любых двух
Бинарная операция « целых чисел,
на множестве
\ группа В — умножение любых двух
[ положительных рациональных чисел»

ВВЕДЕНИЕ

Н

Мы назвали операции в группах А я В бинарными,
поскольку в каждой из них участвуют одновременно
два элемента.
Бинарная операция на множестве — это соответ­
ствие, при котором каждой упорядоченной паре эле­
ментов данного множества отвечает однозначно опре­
деленный элемент этого же множества. Так, в груп­
пе А сложение есть бинарная операция на множестве
целых чисел; в самом деле, если г и 5 — любые два
элемента этого множества, то г + s также является
элементом этого множества. Обозначив элемент г + 5
символом t, можно перефразировать это следующим
образом: если г и 5 — два произвольных элемента
множества, то существует один и только один эле­
мент t того же множества, такой, что г + s = t. На­
пример, если выбрать в нашем множестве два эле­
мента, 2 и 5, то в нем найдется единственный элемент
7, такой, что 2 + 5 = 7.
Умножение есть бинарная операция в группе В.
Действительно, если г и 5 — любые два элемента дан­
ного множества (положительных рациональных чи­
сел), то существует один и только один элемент t
этого множества, такой, что r-s = t. ‘(Единственность
элемента t следует из того факта, что эквивалентные
4
1
рациональные числа, такие, как
и у , представ­
ляют собой одно и то же число.) Если в нашем множестве выбрать два элемента, например j и
то
5

в нем найдется единственный элемент - у , такой, что
2_ 5_ __ _5_
3*8

12 *

Заметим, что понятие бинарной операции нераз­
рывно связано с множеством, на котором она опреде­
лена. Вот почему мы говорим: «бинарная операция
на множестве». Два элемента и третий элемент, кото­
рый сопоставляется им посредством бинарной опера­
ции, должны быть элементами одного и того же мно­
жества. Итак, мы видим, что два основных признака,
характеризующих группу, — это наличие (1) множе­
ства элементов, (2) бинарной операции на этом мно­

12

ГЛАВА 1

жестве. И хотя они тесно переплетены и неразде­
лимы, иногда оказывается удобным переносить центр
внимания с одного признака на другой.
Рассмотренные нами примеры групповых опера­
ций— это обычное сложение целых чисел, обозначае­
мое символом + , и --">