И. Гроссман , В. Магнус - Группы и их графы

умножение положительных ра­
циональных чисел, обозначаемое символом •. В даль­
нейшем мы увидим, что существует много различных
бинарных операций, связанных с разными группами,
но иногда будет удобно пользоваться каким-то одним
символом для произвольной бинарной операции. Для
этой цели мы будем использовать символ 0 .
Это обозначение позволяет нам следующим обра­
зом описать выявленные у групп А и В структурные
признаки (1) и (2): задано множество 5 и бинарная
операция 0 на 5. Если г и s — два произвольных
элемента множества 5, то в S существует единствен­
ный элемент /, такой, что
Г 0 5 = t.
Для группы А символ 0 обозначает операцию «сло­
жение целых чисел», для группы В — «умножение
положительных рациональных чисел».
Чтобы подчеркнуть ту мысль, что бинарная опера­
ция есть соответствие, можно описать рассмотренные
выше группы еще одним способом. В случае группы А
мы можем сказать, что любой паре г и s целых чисел
соответствует однозначно определенное целое число
/, и записать это так:
(г, s)-* t,
где стрелка означает «соответствует». В случае груп­
пы В мы можем сказать, что любой паре г и s поло­
жительных рациональных чисел соответствует одно­
значно определенное положительное рациональное
число t.
Чтобы расширить наше представление о бинар­
ных операциях на множестве, рассмотрим следующий
вопрос: может ли бинарная операция на множестве
быть бинарной операцией и на подмножестве? (Назо­

ВВЕДЕНИЕ

13

вем множество U подмножеством множества 5, если
любой элемент множества U является элементом мно­
жества 5.) Например, пусть S — множество всех по­
ложительных рациональных чисел, a U — его подмно­
жество, состоящее из положительных целых чисел.
Выясним сначала, будет ли деление бинарной опера­
цией на множестве S. Читатель может без труда убе­
диться, что деление является бинарной операцией на
множестве 5 положительных рациональных чисел:
для любых двух положительных рациональных чисел
г и s существует единственное положительное рацио­
нальное число tt такое, что
г : s = t.
Теперь посмотрим, будет ли деление — бинарная
операция на множестве 5 — бинарной операцией и
на подмножестве U положительных целых чисел.
Очевидно, что если взять два таких элемента множе­
ства JJ, как, например, 2 и 3, то для них не существует положительного целого числа /, для которого
2 :3 = f.
Следовательно, деление не является бинарной опе­
рацией на подмножестве U положительных целых чи­
сел, так как существуют пары положительных целых
чисел, которым не соответствует никакое третье поло­
жительное целое число.
В противоположность только что описанной ситуа­
ции рассмотрим множество 5 всех целых чисел и под­
множество U всех четных чисел. Мы уже видели, что
сложение есть бинарная операция на множестве S
всех целых чисел. Что же будет происходить, если
применять операцию сложения к элементам множе­
ства четных чисел? Если сложить два четных числа, то
в результате снова получится четное число. Иными
словами, сложение является бинарной операцией на
подмножестве U четных чисел. Если сложить два эле­
мента из подмножества U, то их сумма тоже будет
принадлежать этому подмножеству. Это свойство
можно выразить иначе: подмножество U четных чи­
сел замкнуто относительно бинарной операции ело-

14

ГЛАВА 1

жения. Читатель может проверить, что подмножество
Т нечетных чисел не замкнуто относительно этой опе­
рации.
Опишем свойство замкнутости подмножества отно­
сительно бинарной операции следующим, более об­
щим образом: если 0 — бинарная операция на мно­
жестве 5 и U — подмножество множества 5, обла­
дающее тем свойством, что для любых элементов и и
v подмножества U элемент uv также принадлежит
U, то подмножество U называется замкнутым относи­
тельно бинарной операции 0 . Термин «замкнутый»
отражает то обстоятельство, что операция 0 , рас­
сматриваемая лишь на парах элементов из U, не вы­
водит нас за пределы подмножества U, т. е. 0 можно
рассматривать как бинарную операцию на множе­
стве U.
В гл. 8 мы увидим, что свойство замкнутости под­
множества относительно бинарной операции играет
главную роль при изучении подгрупп.
У п р а ж н е н и е 1. (а) Является ли сложение би­
нарной операцией на множестве нечетных положи­
тельных чисел? (Ь) Будет ли умножение --">