И. Гроссман , В. Магнус - Группы и их графы

могут
быть преобразованы один в другой. Остается дока­
зать, что такого быть не может — никакие два из ука­
занных шести слов нв эквивалентны. Существенная
часть доказательства востоит в том, чтобы показать,
что г Ф I и f Ф /. Хоти соотношения г = / и / = / н е
входят в наше множество определяющих соотноше­
ний, мы не можем заранее предполагать, что эти ра­
венства не являются следствиями наших исходных со­
отношений *).
Покажем сначала, что f ф I. Если соотношение
f = / является следствием заданных соотношений, то
f — слово из множества К. Следовательно, в К есть
слово, представимое в виде произведения сомножи­
телей T~lRT или Т '1Е~1Т, которое можно преобразо­
вать в слово f. Нам надо показать, что, как бы мы ни
применяли групповые аксиомы и заданные соотноше­
ния, представить f в виде произведения таких
1) Например, два соогношения хух 2 = / и х3 = / влекут за
собой равенство у =

92

ГЛАВА 7

сомножителей невозможно. Сущность нашего метода
состоит в рассмотрении суммы показателей степени
элемента f в произвольном слове из множества К.
Мы подсчитаем, сколько вносится в эту сумму ка­
ждым из возможных сомножителей вида T~lRT. Сло­
во R — это одно из слов г3, Р, rfrf (или их обратных),
а сумма показателей степени элемента f в этих сло­
вах равна 0, 2 , 2 (или 0, —2 , — 2 для обратных) со­
ответственно. Так как Т — произвольное слово из
множества F, то сумма показателей степени элемента
f в слове Т может быть любым числом. Пусть она
равна t. Тогда соответствующая сумма для слова Т~1
равна —t. (Вспомним, что если, например, Т = r 2f r 3/3,
то Г-1 = рзгз^-1г-2. см рассуждение об элементе, об­
ратном к произведению, на стр. 52.) Совместный
вклад от Т~1 и Т в эту сумму для любого сомножи­
теля равен нулю. Следовательно, сумма показателей
степени элемента f в любом сомножителе вида T~lRT
равна 0, 2 или —2 . Таким образом, сумма показате­
лей степени элемента f в любом слове из множества
К есть четное число. Поскольку соответствующая
сумма для f равна 1 , слово f не может принадлежать
множеству /С.
Попытаемся теперь применить наш метод «сумм
показателей» к доказательству того, что г ф /. Мы
сразу же убедимся, что здесь он ничего не дает. Дей­
ствительно, сумма показателей степени элемента г
в слове вида T~lRT может быть равна 0, 2 или 3, т. е.
суммы показателей для слов из множества К могут
быть как четными, так и нечетными. Наше доказа­
тельство того, что г ф1, будет основано на известных
нам фактах о строении группы D3, группы самосовмещений равностороннего треугольника. Предположим,
что соотношение г = I является следствием соотно­
шений
г3 = /, f2 = /, rfrf = /.
Тогда г = / будет следствием указанных соотноше­
ний в любой группе, в которой они имеют место. Мы
знаем, что эти соотношения справедливы в группе D3,
но в группе Z)3 не имеет места соотношение г = /,

ОБРАЗУЮЩИЕ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

93

Значит, оно не является следствием указанных выше
соотношений.
Может ли соотношение г = f быть следствием за­
данных соотношений? Если г = /, то г2 = fr = r 2f, от­
куда f = /, но f Ф /, следовательно, г f.
Мы доказали, что никакие два из слов /, г, f не
эквивалентны. Предоставляем читателю в качестве
упражнения доказать, что остальные три из наших
шести слов-представителей попарно различны между
собой (как элементы группы) и не эквивалентны ни
одному из слов /, г, f. Например, может ли быть г = г2?
Ясно, что тогда было бы г = /, и т. д.
У п р а ж н е н и е 12 . Множество
Л = {г3 = /, /2 = /, rfrf = /}
является множеством определяющих
группы D3. Докажите, что множество

соотношений

В = { f = I, frfr~- = l }
также является множеством определяющих соотно­
шений этой группы.
[Указание. Мы знаем, что соотношения из множе­
ства В являются следствиями соотношений из мно­
жества А (стр. 89). Следовательно, показав, что со­
отношения из А являются следствиями соотношений
из В, мы докажем, что эти множества соотношений
эквивалентны, т. е. оба они определяют одну и ту же
группу.]
Теперь мы предлагаем читателю приступить к
упражнениям 13—17; для их решения требуется не­
сколько больше, чем простое применение основной
процедуры. Если читателю эти упражнения покажутся
трудными, то можно отложить их, пока не будут изу­
чены следующие главы книги.
У п р а ж н е н и е 13. (а) Предположим, что группа
G порождается двумя элементами х и у, удовлетво­
ряющими соотношениям
х2 = I, хух~ 1 --">