О. В. Баранова - Задачи вступительных экзаменов по математике. УдГУ-2001

в которых касательная к графику функции
у = (х —1)2(х —2) параллельна оси абсцисс.
10. Площадь боковой поверхности правильной четырехуголь­
ной пирамиды равна 60 см2, высота пирамиды 8 см. Най­
дите сторону основания пирамиды.
98

И. Из круглого бревна, диаметр которого равен 60 см, требу­
ется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы
площадь сечения была наибольшей. Найдите размеры это­
го сечения.
12. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а
высота 20 см. Найдите высоту, опущенную на боковую сто­
рону.
13. Найдите область определения функции: у = lg2a;(4 - я2).
14. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре­
угольник, основание которого равно 2 см и угол при основа­
нии равен 30°. Определите объем призмы, если ее боковая
поверхность равна сумме площадей ее оснований.
15. Решите неравенство: log0|5(5s —2) < log05(3 - 2ж).
16. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см.
Двугранный угол при основании равен 45°. Найдите пол­
ную поверхность пирамиды.
17. Решите уравнение: log3 ^З*2- * - 9 -f

= log4 0,25.

18. Дана правильная треугольная пирамида, полная поверх­
ность которой равна 80 см2, угол между боковой гранью и
основанием пирамиды равен 60°. Найдите сторону основаг
ния пирамиды.
19. Решите систему уравнений: I

^

\lg * + lgy = 31g2.
20. Образующая конуса равна 3 см и составляет с плоскостью
основания угол 45°. Определите объем конуса.
21. Найдите ж, если logar256 = - l | .
99

22. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, а сум­
ма длин его высоты и образующей равна 12 см. Найдите
полную поверхность конуса.
23. Решите уравнение: 9х* 1 + 92х~1 = 54 • 27х-1.
24. В параллелограмме даны острый угол 30° и расстояния
1см и 2 см от точки пересечения диагоналей до неравных
сторон. Определите площадь параллелограмма.
25. Решите неравенство: logi

< 0.

26. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и меди­
ана, проведенная к основанию, 13 см. Определите боковые
стороны треугольника.
27. Решите уравнение: 3 • 22^ ^ -1) —2 ^ —8 = 0.
28. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат
на сторонах первого, а стороны составляют со стороной ква­
драта углы по 30°. Какую часть площади данного квадрата
составляет площадь вписанного?
29. Решите уравнение: 2х2_6х" 2'5 = 16\/230. В прямоугольник со сторонами 3 и 4 см вписан другой пря­
моугольник, стороны которого относятся как 1:3. Найдите
стороны этого прямоугольника.
31. Решите неравенство: Iog2

> 0.

32. Объем конуса равен 60 см3. Высота его разделена на три
равные части и через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Найдите объем средней части.
33. Найдите наибольшее значение функции: у = 2cosx.
100

34. В правильную треугольную призму вписан шар. Найдите
отношение поверхности шара к полной поверхности приз­
мы.
35. Решите неравенство: 4^ + 3 > у+зГб36. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если из­
вестны его периметр 8 см и высота 1см.
37. Упростите выражение:
38. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат ква­
драты со сторонами 4 см и Зсм. Боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 30°. Определите объем
усеченной пирамиды.
39. Решите уравнения: 1 + соэ2ж = 2 cos я.
40. На боковых сторонах С А и С В равнобедренного треуголь­
ника АВС отложены равные отрезки СМ и C N . Опреде­
лите длину этих отрезков, зная периметр 18 см треуголь­
ника А В С , его основание А В = 10 см и периметр 14 см
четырехугольника A M N В .
41. Решите уравнение: tg 5ж + tg Зж = 0.
42. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М,
отстоящая от центра круга на 5 см. Через точку М про­
ведена хорда АВ = 25 см. Определите длину отрезков, на
которых хорда АВ делится точкой М.
43. Решите уравнение: sin (ж + f ) • cos (я - | ) = 1 .
44. Из точки вне круга проведены две секущие, внутренний от­
резок первой равен 47 м, а внешний 9 м, внутренний отрезок
второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Опре­
делите длину второй секущей.
101

45. Решите уравнение:

= 1-

46. Дана прямоугольная трапеция с основаниями 5 и 8 см и
меньшей боковой стороной 4 см. Определите расстояния от
точки пересечения диагоналей трапеции до основания и до
меньшей боковой стороны.
47. Решите неравенство: |ж —1| < 1 —х.
48. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если ос­
нование его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна
прямой, соединяющей середины основания и боковой --">