О. В. Баранова - Задачи вступительных экзаменов по математике. УдГУ-2001

О.

"SftjoAtvO'&A

“ 10.
Решение. Пусть 3х + 3~x = 6. Тогда 32+x + 32~x = 96, 9X +
9“x = 62 —2. Заметим, что 6 > 2, а числа 96, a, 62 —2 образуют
арифметическую прогрессию. И запишем ее характеристическое
13

свойство: а,2 = ai i>aa или 2а = 96 + 62 —2. Найдем, при каких а
уравнение Ь2 + 96 — 2 (a -f 1) = 0 имеет хотя бы один корень, не
меньший 2.
Дискриминант уравнения равен D = 81 + 8 (а + 1) = 89 + 8а,
больший из корней 6 =
^ 8-+-8-- при а > -Щ-. Решение задачи
равносильно решению системы:

^

89

8»
i —9 ~Ь у/89

а > 10.

8а ^ 2,

1 .7 . О т вет : (0 ;4 ).
Реш ение. Областью допустимых значений данной системы
служит множество точек плоскости (я, у), удовлетворяющих не­
равенству: я + у > 0. Заметим, что второе из неравенств имеет
место при условии 1 + (4 - у )2 > 0, т. е. у 6 [3; 5]. Кроме того,
легко видеть, что

< 1. Следовательно, 2Х+3/” 4 < 1, т.е.

х + у —4 < 0, откуда у/х + у < 2. Итак: х 2 + 2 < у/х -}- у < 2 &
у/ х

+ у = 2,

я = 0,

Второе из не­
2 /= 4.
равенств данной системы при найденных значениях неизвестных
также обращается в верное равенство.
1 8 Ответ: 0
Реш ение. Пусть
= t. Тогда
= 1 (придавая здесь я
различные значения, мы для t получим любое значение, кроме
х = 0. Но тогда

я = 0,

..

* =1) и

.

/ п

/( t)-2 /(--J =0.

(1)

Это соотношение справедливо для любых
кроме t = 0 и
t = 1. Заменяя в этом равенстве t на ( —|) , получим f ( —\) —
2f ( t ) = 0 или

2/ ( “ ) - 4 /(0 = °-

(2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим: - 3 f ( t ) = 0,
откуда f ( t ) = 0. Причем, это равенство выполняется при всех
t 6 (—o o ;0 )U (l;0 )U (0 ;+ o o ). В частности, / ( 2 ) = 0 и s in /( 2 ) = 0.

14

Ответы д л я остальных вариантов
2.1. (1; 9]; 2.2. 2; 2.3. £; 2.4. 9; 2.5. 4:13; 2.6. о > 9; 2.7.
(0; 9); 2.8. 1; 3.1. (1; 25]; 3.2. 2; 3.3. f ; 3.4. 10; 3.5. 3 : 7;
3.6. а > 4 ; 3.7. (0; 2); 3.8. 0; 4.1. (1; 36]; 4.2. 1; 4.3. f; 4.4.
11; 4.5. 1:37; 4.6. а > 3 ; 4 . 7 . (0;3); 4.8. 1.
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКИЙ Ф А КУ ЛЬТЕТ
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Решите уравнение: 2х2 + 5|х| —3 = 0.
2. Решите уравнение:
log2 у/ х + 10 + 0,5 log2(x —10) = 1 + 0,5 log2 11.
3. Решите неравенство: (х —2) (я - З)2 > 0.
4. На стороне АВ треугольника АВС взяты две точки К
и Р так, что К Р = \АВ. На сторонах АС и ВС взяты
точки М и N так, что прямая АВ параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок Л С, чтобы площадь четырехугольника K M N P была
наибольшей?
5. Решите уравнение: 4 sin4 я -f 2 cos3 s+ 4 sin 2 ж—cosz + l = 0.
6. Произведение первых четырех членов знакопостоянной гео­
метрической прогрессии равно 4, а отношение суммы кубов
первых трех членов к первому равно 7. Найдите эту про­
грессию.

15

Вариант 2
1. Решите уравнение: 10ж2 - 7\х\ - 3 = 0.
2. Решите уравнение: log3 у/х + 8 + \ log3(a: —8) = 1 + log3 2.
3. Решите неравенство: (ж -f 1)(ж + 2)2 < 0.
4. На стороне А В треугольника А В С взяты две точки К
и Р так, что К Р = | АВ. На сторонах АС и В С взяты
точки М и N так, что прямая А В параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок АС, чтобы площадь четырехугольника К M N P была
наибольшей?
5. Решите уравнение:
4 cos4 х + 2 cos2 х sin х -f 4 cos2 x —sin x -f 1 = 0.
6. Произведение первых пяти членов геометрической
прогрессии равно 32, а сумма кубов первых трех членов
равна 14. Найдите эту прогрессию.

Вариант 3
1. Решите уравнение: Зж2 + 5|ж| - 2 = 0.
2. Решите уравнение:
3
log2 у / х + 7 + 0 ,5 log2(x - 7) = - + 0, 5 log2 15.
3. Решите неравенство: (ж —3)(ж —4)2 > 0.
4. На стороне А В треугольника А В С взяты две точки К
и Р так, что К Р = \ А В . На сторонах АС и В С взяты
точки М и N так, что прямая А В параллельна прямой
M N . В каком отношении точка М должна поделить отре­
зок АС, чтобы площадь четырехугольника К M N P была
наибольшей?
16

5. Реш ите уравнение: sin4 ж + 8 cos3 ж+ 4 sin2 ж —4 cos ж+ 4 = 0.
6. П роизведение первы х четы р ех членов знакопостоянной гео­
м етрической прогрессии равно 9, а отношение сумм ы кубов
п ервы х трех член ов к первому равно 13. Н айдите эту про­
грессию .
В ариант 4
1. Реш ите уравнение: Зж2 — 7|ж| — 10 = 0.
2. Реш ите уравнение: log6 у/х + 6 + \ log6(s - 6) = 3 loge 2.
3. Реш ите неравенство: (ж + 3)(ж + 4 )2 < 0.
4. Н а стороне А В т р еу го л ь н и к а А В С взяты две точки К
и Р так , что К Р = | А В . Н а сторонах А С и В С взяты
точки М и N так , что п р ям ая А В п ар ал лел ьн а прямой
M N . В каком отнош ении т о ч к а М дол ж н а поделить отре­
зок А С , чтобы площ адь четы рехугольника К M N P бы л а
наибольш ей?
5. Реш ите уравнение:
cos4 ж + 8 cos2 ж sin ж + 4 cos2 ж —4 sin ж + 4 = 0.
6. П роизведение первы х пяти членов геометрической
прогрессии равно 243, а сум м а кубов первых трех членов
равна 39. Н айдите эту --">