О. В. Баранова - Задачи вступительных экзаменов по математике. УдГУ-2001

являются решениями
второго уравнения системы.
Заметим, что заменой cos ж = t можно свести это уравнение
к алгебраическому четвертой степени: 414 -f 2£3 - 12t2 —t + 9 = 0.
Здесь легко угадывается корень t — - 1. Важнейшим моментом в
решении задачи таким способом является обоснование того, что
других корней на отрезке [—1; 1] это уравнение не имеет.
1.6. Ответ:
1,
- 1 , - ^ 2 , - Щ , . . . ; 2,-Уз,

№,■■■; -2,
Решение. Пусть первый член в прогрессии равен и, а знаме­
натель прогрессии - q. По условию Ьп = ug71""1, u-uq-uq2-uq3 = 4,
20

ir+uV+tf’gi = ^' Из первого уравнения находим и2д3 = ±2. Слу­
чай и2?3 = —2 приводит к знакопеременной прогрессии. Задача
/ u2q3 = 2,
свелась к решению системы: < „,
,
Подстанов1 и2(1 + q3 + д6) = 7.
ка и2 = 4- и замена переменной q3 = t дает четыре решения
системы:
2,

(и = —2,

II

£

С3"1

и

£

II

1и =

I U = ~ 1»

"из "

\ и = 1,

При решении этой задачи часто встречалась потеря решений
(при решении уравнения и2 = ф ). Существенным пробелом ре­
шения считается отсутствие обоснования, что q > 0.

Ответы для остальных вариантов
2.1. ±1; 2.2. 10; 2.3. (-о о ;-2 ) U ( - 2 ,- 1 ) ; 2.4. 5; 2.5.
| + 2тги, л е Z; 2.6. ^ 2 ,^ 4 ,
...;
^ 1 2 ,2 ,...; 3.1.
± i ; 3.2. 13; 3.3. (3; 4) U (4;оо); 3.4. 2; 3.5. ж + 2ят»,
п 6 Z; 3.6. 1 , ^ 3 , ^ 9 , . . . ; -1 , —
—v^, . . . ; 3 , ^ 9 , ^ 3 , . . . ;
- 3, -\ / 9, —
; 4.1. ± f ; 4.2. 10; 4.3. (-о о ;- 4 ) U ( - 4 ;-3 );
4.4. 7; 4.5. f -Ь2тгта, тг £ Z; 4.6. ^3, ^ 9 , v ^ 7 ,... ;
v^36,
3,...

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальности: Прикладная математика
и информатика,
прикладная информатика
Устный экзамен
1. Решите уравнение: 8 sin2 х - 2 cos х = 5.
2. Из некоторой точки проведены два луча, образующих с
плоскостью углы, равные 30°, а между собой угол в 60°.
Найдите угол между их проекциями на плоскость.
21

3. Решите уравнение: sin х cos х + 2 = cos х + 2 sin х.
4. Около трапеции A B C D с основаниями A.D и ВС описана
окружность, центр которой лежит на основании AD. Опре­
делите площадь трапеции, если ее диагональ равна 8 см, а
боковая сторона равна б см.
5. Решите неравенство: log0t2(®2 + 2) < log0 2(3a: - 7).
6. Длины двух сторон треугольника равны а и Ь. Найти дли­
ну третьей стороны треугольника, если величина угла, ле­
жащего против этой стороны, в 2 раза больше величины
угла, лежащего против стороны Ь.
7. Решите уравнение: sin2 х + ctg2 х = 1.
8. В шаре с центром в точке О проведен диаметр АВ и две
равные хорды A M и A N , каждая под углом 60° к диа­
метру. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра
M A N О, если отрезок M N виден из центра шара под углом
90°, а радиус шара равен 1см.
9. Найдите отрезок с целыми концами наименьшей длины, ко­
торому принадлежит число log10 50.
10. Два равносторонних треугольника имеют общую сторону,
расстояние между их вершинами, не лежащими на общей
стороне, составляет одну треть стороны. Найдите рассто­
яние между их общей стороной и отрезком, соединяющим
третьи вершины.
11. Решите уравнение: 3 • 2v'*+1 - 8 •

+ 4 = 0.

12. В окружность радиуса R вписан правильный п -угольник,
площадь которого равна 3R 2. Найдите п.
13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 5.
22

14. Найдите объем конуса, если радиус описанного около него
шара равен Зсм, а образующая конуса наклонена к плос­
кости основания под углом 60°.
15. Решите уравнение: logr _2 9 = 2.
16. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под
углом 45°. Найдите отношение радиусов описанного и впи­
санного в конус шаров.
17. Решите уравнение: tg(x + \ ) -f- tg(z —J) = 1.
18. В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диа­
гоналей нижнего основания соединена с серединой бокового
ребра отрезком длины 4 см. Этот отрезок образует с осно­
ванием параллелепипеда угол 60° и с боковой гранью угол
45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипе­
да.
19. Решите неравенство: 3* + 3*+3 > 84.
20. Площадь полной поверхности прямоугольного параллеле­
пипеда равна 160 см2. Если увеличить каждое из ребер на
2 см, то полная поверхность увеличится на 136 см2. Найди­
те длину диагонали параллелепипеда.
21. При каких значениях т трехчлен 2х2—2т+5га будет иметь
положительные значения при любых действительных зна­
чениях х?
22. Высота треугольной пирамиды равна Зсм, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем пирамиды, если в основании ее лежит треугольник с
углами 45° и 60°.
23. Решите уравнение: x 21gx = 10ж.
23

24. Точка М делит сторону В С параллелограмма ABCD в
отношении 1:3, считая от вершины В. Отрезок AM пе­
ресекает диагональ B D --">