Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1
15-е издание, стереотипноеНазвание: | Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1 | |
Автор: | Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев | |
Жанр: | Математика, Школьные учебники и пособия | |
Изадано в серии: | неизвестно | |
Издательство: | Мнемозина | |
Год издания: | 2021 | |
ISBN: | 9785346045960 | |
Отзывы: | Комментировать | |
Рейтинг: | ||
Поделись книгой с друзьями! Помощь сайту: донат на оплату сервера |
Краткое содержание книги "Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1"
Учебник написан в соответствии с ФГОС ООО, реализует авторскую концепцию, в которой приоритетной содержательно-методической основой является функционально-графическая линия, а идейным стержнем курса — математический язык и математическая модель, с помощью которых строится описание реальных ситуаций окружающей действительности. В учебнике реализованы принципы проблемного, развивающего и опережающего обучения.
Подбор и последовательность учебного материала позволяют изучать предмет как на базовом, так и на углублённом уровне в соответствии с Примерной основной общеобразовательной программой.
Электронная форма учебника содержит соответствующий мультимедийный материал и тесты для самопроверки.
Первая часть учебника содержит теоретический материал, написанный понятным языком, доступным для всех учащихся.
К этой книге применимы такие ключевые слова (теги) как: алгебра,9 класс
Читаем онлайн "Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1". [Страница - 2]
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (42) »
венства можно опустить как очевидную.
Итак, верно неравенство | f(b)\ < с, а это значит, что х = Ь — частн^
решение неравенства |f(x)\ < с.
Вывод: при с > 0 неравенства |/(д:)| < с и -с < f(x) < с раВ№г
сильны.
2. Пусть с > 0 и пусть х = а — частное решение неравенств
!f(x)| > с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| > с. Если f(a) > о с можно переписать так: /(а) > (■
Если /(а) < 0, то |Да)| = -/(а) и неравенство \f(a)\ > с можно переписав
так: - f(a) > с, т. е. f(a) < -с.
Итак, в любом случае значение х = а удовлетворяет либо пер5'
венству f(x) > с, либо неравенству f(x) < -с. Значит, х = а — частног
решение совокупности неравенств: f(x) < -с; f{x) > с.
Пусть, обратно, х - Ь — частное решение совокупности неравенств
fix) < -с; fix) > с. Это значит, что либо fib) < -с, либо fib) > с — Bejr
ное числовое неравенство. Первое неравенство можно переписать га£:
-fib) > с. Поскольку |/(6)| равен либо fib), либо -fib), получаем,
|/(fo)| > с.
Итак, верно неравенство |/(6)| > с, а это значит, что х = b — частно?
решение неравенства |/(л)| > с.
Вывод: при с > 0 неравенство |/‘(х)| > с равносильно совокупноса>)
неравенств fix) < -с; fix) > с.
3. Пусть gix) > fix) > 0 и пусть х - а — частное решение неравец
ства fix) < gix), т. е. верно числовое неравенство Да) < g(a). Поскольк)
§5. Неравенства с модулями
43
обе части этого неравенства неотрицательны, верно и неравенство
(/(а))2 < (£(а))2. Это значит, что х = а — частное решение неравенства
(/(х))2 < (g(x))2.
Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства (/(х))2 < (g(x))2,
т. е. (/(ft))2 < (#(ft))2 — верное числовое неравенство. Это неравен
ство можно преобразовать к виду (/(ft) - g(b))(f(b) + g(b)) < 0. Но из
условия следует, что /(ft) + g{b) > 0. Значит, неравенство (f(b) - g(b))(f(b) +
+ g(ft)) < 0 можно преобразовать к виду /(ft) - g(b) < 0, т. е. к виду
/(ft) < g(b). Это значит, что х = ft — частное решение неравенства /(х) <
< £(х).
Вывод: если g(x) > f(x) > 0, то неравенства /(х) < g(x) и (/(х))2 <
< (£(х))2 равносильны.
Решение неравенств вида
Пусть требуется решить неравенство |/(х)| < g(x). Освободиться от
знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если /(х) > 0, то |/(х)| = /(х), и заданное неравен
ство принимает вид f(x) < g(*). Если f(x) < 0, то |/(х)| = -/(х), и за
данное неравенство принимает вид —
-/(х) < g(x). Таким образом, зада
ча сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
/(х) > О,
/(х) < g(x);
/(х) < 0,
-/(х ) < g(x).
Второй способ. Перепишем заданное неравенство в виде
g(x) > |/(х)|. Отсюда сразу следует, что g(x) > 0. Воспользуемся тем,
что при g(x) > 0 неравенство |/(х)| < £(х) равносильно двойному нера
венству -gtx) < f(x) < g(x) (утверждение 1). Это позволит свести нера
венство |/(х)| < g(x) к системе неравенств
Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0 обе части
неравенства |/(х)| < g(x) неотрицательны, а потому согласно утверж
дению 3 их возведение в квадрат есть равносильное преобразование
неравенства. Учтём, кроме того, что |а|2 = а 2. Это позволит свести
неравенство |/(х)| < £(х) к системе неравенств
ГЛАВА 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ
ПРИМЕР 1
Решить неравенство | х2 - Зх + 2 1< 2х - х2.
Решение
ж
Первый способ. Заданное неравенство равносильно сово
купности двух систем неравенств:
| х 2 - Зх + 2 > 0,
J x 2 - Зх + 2 < О,
[х 2 - Зх + 2 < 2х - х2;
}-(х 2 - Зх + 2) < 2х - х 2.
Решая первую систему, получим
ж
{(* - 1)(* - 2) > О,
12(дг - 2)(х - 0,5) < О,
откуда находим (рис. 48):
0,5 < х < 1.
Решая вторую систему, получим
Я
ш
Рис. 48
Рис. 49
(х - 1)(х - 2) < О,
х < 2,
0,5
откуда находим (рис. 49):
1 < х < 2.
Объединив найденные решения систем неравенств, получим
0,5 < х < 2 .
Второй способ. Заданное неравенство равносильно системе нера
венств
2х - х 2 > О,
х 2 - Зх + 2 < 2х - х 2,
х 2 - Зх + 2 > ~(2х - х 2).
Решая эту систему, получим
х(х - 2) < О,
2(х - 2)(х - 0,5) < О,
х < 2;
Рис. 50
О 0,5
0,5 < х < 2 (рис. 50).
Третий способ. Заданное неравенство равносильно системе нера
венств
\ 2 x - x 2 > 0,
|( х 2 - Зх + 2)2 < (2х - х2)2.
§ S Неравенства с модулями
■ммннмЯввн
Решая эту систему, получаем:
х(х - 2) < О,
((х2 - Зх + 2) - (2х - х 2))((х2 - З х + 2) + (2х - х 2)) < 0;
х(х - 2) < О,
/'(«•. 5 1
и------ 1
0 0,5
2
2(jc - 0,5)(х - 2)2 > 0;
х
0,5 < х < 2 (рис. 51).
0,5 < х < 2.
I
ШШ
Решение неравенств вида
\f(x)\ > g(x)
Пусть теперь требуется решить неравенство |/(х)| > g[x). Освободить
ся от знака модуля можно тремя способами.
Первый --">
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя (42) »
Книги схожие с «Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1» по жанру, серии, автору или названию:
Иван Валериевич Ященко, Александр Владимирович Антропов, Алексей Вадимович Забелин и др. - ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от... Жанр: Учебники и пособия: прочее Год издания: 2021 Серия: ЕГЭ. Тесты от разработчиков |
Владимир Васильевич Мирошин - ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень Жанр: Математика Год издания: 2020 Серия: ЕГЭ. Тренировочные варианты |
Другие книги автора «Александр Мордкович»:
Александр Григорьевич Мордкович - Школьный курс математики: Краткий справочник Жанр: Математика Год издания: 1995 Серия: Библиотека журнала «Математика в школе» |
Александр Григорьевич Мордкович, Ирина Ивановна Зубарева - Математика. 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений Жанр: Математика Год издания: 2009 |