Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1

способ. Если f(x) > 0, то \f(x)\ = f(x), и заданное неравен­
ство принимает вид f(x) > g(x). Если f(x) < 0, то |/(х)| = -f{x), и за­
данное неравенство принимает вид -f(x) > g(x). Таким образом, зада­
ча сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Второй способ. Рассмотрим два случая: g(x) > 0, g(x) < 0. Если
g(x) < 0, то неравенство |/(х)| > g(x) выполняется для всех значений
х из области определения выражения f(x); обозначим её D(f). Если
g(x) > 0, то воспользуемся тем, что согласно утверждению 2 неравен­
ство |/(х)| > g(x) равносильно совокупности неравенств f(x) < -g(x);
f(x) > я(х). Таким образом, заданное неравенство сводится к совокуп­
ности трёх систем:
g(x) < 0,
х е D(f);
Третий способ. В случае когда g{x) > 0, неравенство |Я *)| > g(x)
равносильно неравенству (/(х))2 > (£(*))2‘> значит, заданное неравен­
ство сводится к совокупности систем:

lislflill
"г л а в а 1. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

46

ПРИМЕР 2

Решить неравенство |х2 - Зх + 2 1> 2х - х 2.
Решение

Первый способ. Заданное неравенство равносильно совокуп­
ности двух систем неравенств:
| х 2 - Зх + 2 > 0,
| х2 - Зх + 2 < О,
[ х 2 - Зх + 2 > 2х - х 2;
| - ( х 2 - Зх + 2) > 2х - х 2.

Решив первую систему, получим х < 0 ,о; х > 2. Вторая система
не имеет решений. В результате решением совокупности систем яв­
ляется решение первой системы.
Второй способ. Если 2х - х2 < 0, то заданное неравенство выполня­
ется (его левая часть неотрицательна, а правая
неположительна).
Если 2х - х 2 > 0, то заданное неравенство равносильно совокупности
двух неравенств: х2 - Зх + 2 ^ 2х —х 2‘, х 2 —Зх + 2 < -(2 х —х 2). Таким
образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
2х - х 2 < 0;
J 2х - х 2 > 0,
12х - х 2 > О,
[х2 - Зх + 2 > 2 х - х 2;
{х 2 - 3* + 2 < ~ (2х - х 2).
Решив неравенство 2 х —х2 < 0, получим х < 0; х ^ 2. Решение
первой системы — полуинтервал 0 < х < 0,5. Вторая система не име­
ет решений.
В итоге получаем х < 0,5; х > 2.
Третий способ. Если 2х - х 2 < 0, то заданное неравенство выпол­
няется. Если 2 х - х 2 > 0, то обе части заданного неравенства можно
возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравен­
ства и системы неравенств:
\2 х - х 2 > 0,
2х - х2 < 0;
| (ж2 _ Зд. + 2)2 > (2х - х 2)2.
Решения неравенства 2х - х2 < 0 — лучи: х < 0; х 3* 2.
\х (х - 2) < 0,
Решим систему
(х2 - Зх + 2)2 - (2х - х 2)2 0.

j

>

Имеем:
[0 < х < 2,
|( ( х 2 - Зх + 2) - (2х - х2))((х2 - Зх + 2) + (2х - х 2)) > 0;
I0 < х < 2,
| (2х2 - 5х + 2)(х - 2) < 0;
j 0 < х < 2,
| 2(х - 0,5)(х - 2)2 < 0;

jo < x < 2,
\ x < 0,5; x = 2;
0 < * < 0,5.
Объединив это решение с найденными выше решениями х < 0;
х > 2, получаем х < 0,5; х > 2.
х < 0,5; х > 2.

Ответ
мммммимя

Неравенства с модулями
ПРИМЕР 3

Н

Решить неравенство \х - 2| + \х + 4| < 10.
Решение

Первый способ. Выражение х —2 обращается в нуль в точ­
ке 2, а выражение х + 4 обращается в нуль в точке —4. Ука­
занные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка:
х < -4; -4 < х < 2; * > 2.
На промежутке х < -4 выражение х - 2 принимает отрицатель­
ные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на указанном
промежутке выполняются соотношения:
\ х - 2 \ = -(х - 2), \х + 4| = -(х + 4),
а потому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) - (х + 4) < 10.
На промежутке -4 < х < 2 выражение х —2 принимает неположи­
тельные значения, а выражение х + 4 — неотрицательные. Значит,
на указанном промежутке выполняются соотношения:
|х —2| = -(х - 2), |х + 4| = х + 4,
а потому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) + (х + 4) < 10.
Наконец, на промежутке х > 2 выражение х - 2 принимает поло­
жительные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на ука­
занном промежутке выполняются соотношения:
|х - 2| = X - 2, |х + 4| = X + 4,
а потому заданное неравенство принимает вид
(х - 2) + (х + 4) < 10.

™ --------------------- —
ГЛАВА 1- НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ

В итоге получаем совокупность трёх систем неравенств:
J х < -4,
[-(* - 2) - (ж + 4) < 10;
J-4 < ж < 2,
{-(ж - 2) + (ж + 4) < 10;
\х > 2,
{(ж - 2) + (ж + 4) < 10.
Из первой системы получаем -6 < ж < -4 , из второй---- 4 < ж < 2,
из третьей — 2 < ж < 4. Объединив найденные решения, находим
ответ: -6 < ж < 4.
Второй способ вам известен, его применяли в курсе алгебры 8-го
класса.
Неравенство | ж - 2 | + |ж + 4 | < 10 на геометрическом языке озна­
чает, что нам нужно найти на координатной прямой такие точки ж,
которые удовлетворяют условию р(ж; 2) + р(ж; -4) < 10, т. е. сумма
расстояний каждой из таких точек от --">