Александр Александрович Локшин , Елена Алексеевна Иванова - Математическая смесь

обозначений ..................................................................................110
Литература..................................................................................................111

4

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

В книжке рассмотрены некоторые вопросы из теории множеств, логики, комбинаторики и элементарной геометрии, недостаточно освещенные в имеющейся литературе и представляющие, на взгляд авторов, интерес для студентов пединститутов
(в особенности, для студентов факультетов начальных классов),
школьников-старшеклассников и учителей математики.
Авторы

5

1. ÏÀÐÀÄÎÊÑ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ1
Метод математической индукции является, как известно, могучим инструментом, позволяющим доказывать многие математические утверждения, не поддающиеся иным методам. Соль метода в
том, что он позволяет, так сказать, «опереться на недоказанное».
В простейшем случае действие метода выглядит так. Пусть
имеется некоторое утверждение A(n), зависящее от натурального
номера n (n = 1,2,…). Тогда если A(1) истинно и если при каждом
натуральном n из истинности A(n) следует истинность A(n+1), то
A(n) истинно при всех натуральных n.
Приведенная выше распространенная формулировка метода
математической индукции может быть кратко записана, с использованием общепринятых математических терминов, в следующем
виде:
A(1)
(∀n ∈ N ) A( n ) → A( n + 1)
.
(1.1)
(∀n ∈ N ) A( n )
Здесь формулы над чертой – так называемые посылки, истинность которых мы должны предварительно установить, формула
под чертой – вывод, истинность которого обеспечивается истинностью посылок; N обозначает множество натуральных чисел.
Парадокс, однако, заключается в том, что, «применяя математическую индукцию», мы пользуемся не методом (1.1), а другими
соображениями.
Действительно, посмотрим, как фактически проводится доказательство «по индукции». Вначале устанавливается База индукции – доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1.1). Однако наши следующие действия представляют собой мыслительные операции, в
корне отличные от второй строчки в схеме (1.1). Фактически, мы
рассуждаем так:
«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольном n (Предположение индукции). Докажем, что тогда A(n+1)
тоже истинно (Шаг индукции)».
____________
Cм. [1].
6
1

Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в
противном случае наше предположение звучало бы так:
«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е.
мы предположили бы то, что требуется доказать! Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись. В итоге вместо (1.1) мы пользуемся на самом деле следующей (вполне общепринятой) схемой:
A (1)
A(n ) истинно при некотором произвольном n → A(n + 1) истинно
(1.2)
(∀n ∈ N ) A( n )

Замечание 1. Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов
∀ (для любого) и ∃ (существует).
Замечание 2. В следующем параграфе мы постараемся прояснить возникающую здесь ситуацию. Заодно мы увидим, что в
схеме (1.2) пропущен, но используется «по умолчанию» еще один
этап – обобщение и, по сути, объединим схемы (1.1) и (1.2).
Î ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÎÌ ÂÛÁÎÐÅ, ÎÁÎÁÙÅÍÈÈ
È ÏÎÍÈÌÀÍÈÈ

Существует ли на самом деле «произвольный выбор»?
Возможно ли раз и навсегда избавиться в проводимых доказательствах от «произвольного выбора», заменив его «случайным
выбором» (или выбором, основанным на аксиоме выбора) и использованием общих свойств элементов множества, откуда выбираются упомянутые элементы?
Посмотрим, так ли это. Напомним вначале, что такое содержательная аксиоматическая теория. Это такая математическая
теория, в которой логические выводы из аксиом делаются на основе общепринятой логики, восходящей к Аристотелю. Приведем
теперь две аксиомы, используемые в содержательной аксиоматической теории вещественных чисел:
Аксиома № 1.

(∀x, y ∈ R ) x + y = y + x

(1.3)

(здесь R обозначает множество вещественных чисел).
7

Аксиома № 2.

(∀x, y, z ∈ R ) ( x + y ) + z = x + ( y + z ).

(1.4)

Теперь рассмотрим следующее несложное утверждение.
Теорема.

(∀x, y, z ∈ R ) ( x + y ) + z = ( z + x ) + y.

(1.5)

Мы приведем два различных доказательства этой теоремы,
сравнивая которые, попытаемся разобраться в том, что такое
«произвольный выбор».
Доказательство № 1. (Пользуемся понятием «произвольно
выбранного элемента».) Из аксиом (1.3) и (1.4), понимая их содержание, последовательно заключаем, что для --">