Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.1. Механика

системы из N материальных
точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. 3N
координат.
Вообще число независимых величин, задание которых необ­
ходимо для однозначного определения положения системы,
называется числом ее степеней свободы; в данном случае это
число равно 3N. Эти величины не обязательно должны быть
декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий
задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо дру­
гих координат.
Любые s величин gi, 4s, вполне характеризующие по­
ложение системы (с s степенями свободы), называют ее обоб­
щенными координатами, а производные ф — ее обобщенными
скоростями.
х) Вместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о
«частицах».

10

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

Задание значений обобщенных координат еще не определяет,
однако, «механического состояния» системы в данный момент
времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать поло­
жение системы в последующие моменты времени. При заданных
значениях координат система может обладать произвольными
скоростями, а в зависимости от значения последних будет раз­
личным и положение системы в следующий момент времени (т.е.
через бесконечно малый временной интервал dt).
Одновременное же задание всех координат и скоростей пол­
ностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и
позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С
математической точки зрения это значит, что заданием всех ко­
ординат q и скоростей q в некоторый момент времени однознач­
но определяется также и значение ускорений q в этот момент г).
Соотношения, связывающие ускорения с координатами и
скоростями, называются уравнениями движения. По отноше­
нию к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения вто­
рого порядка, интегрирование которых позволяет в принципе
определить эти функции, т.е. траектории движения механиче­
ской системы.
§ 2. Принцип наименьшего действия
Наиболее общая формулировка закона движения механиче­
ских систем дается так называемым принципом наименьшего
действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому прин­
ципу каждая механическая система характеризуется определен­
ной функцией
L( qi , © > • • • , 4s, 91, 42, qa, t)

или, в краткой записи, L(g, g, £), причем движение системы удо­
влетворяет следующему условию.
Пусть в моменты времени £ = £i и £ = £2 система занима­
ет определенные положения, характеризуемые двумя наборами
значений координат qW и q(2\ Тогда между этими положениями
система движется таким образом, чтобы интеграл
г) Для краткости обозначений мы будем часто условно понимать под q
совокупность всех координат q \ , ^ 2 , •••, qs (и под q аналогично совокупность
всех скоростей.)

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

11

t2

S =

J

L(q,q,t)dt

(2.1)

tl

имел наименьшее возможное значение х). Функция L называет­
ся функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) — дей­
ствием.
Тот факт, что функция Лагранжа содержит только g и д, но
не более высокие производные g, q, ..., является выражением
указанного выше факта, что механическое состояние полностью
определяется заданием координат и скоростей.
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решаю­
щих задачу об определении максимума интеграла (2.1). Для
упрощения записи формул предположим сначала, что система
обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть
определена всего одна функция q(t).
Пусть q = q(t) есть как раз та функция, для которой S имеет
минимум. Это значит, что S возрастает при замене q(t) на любую
функцию ввда
т + 6?(()_
(2 2)
где bq{t) — функция, малая во всем интервале времени от t\ до
£2 (ее называют вариацией функции q(t) ); поскольку при t = t\
и t = £2 все сравниваемые функции (2.2) должны принимать
одни и те же значения qW и q^2\ то должно быть:
Sg(ti) = bq{t2) = 0.

(2.3)

Изменение S при замене q на q + bq дается разностью
t2

t2

/ К я + bq,q + bq, t) dt -

J

ti

ti

L(q, q, t) dt.

Разложение этой разности по степеням bq и bq (в подынтеграль­
ном выражении) начинается с членов первого порядка. Необхо­
димым условием минимальности S 2) является обращение в нуль
г) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наимень­
шего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом,
а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей --">