Лев Давидович Ландау , Евгений Михайлович Лифшиц - Теоретическая физика в 10т. Т.1. Механика

же траек­
тории может оказаться, что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное, не
обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершен­
но не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь
условие экстремальности.
2) Вообще — экстремальности.

12

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или
обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип
наименьшего действия можно записать в виде
t2
SS = 8 L(q,q,t)dt = 0,
(2.4)

J

tl

или, произведя варьирование:
t2

I (f +f 6«)*=°-

tl

Замечая, что bq = —t)q, проинтегрируем второй член по частям:
t2
t2
tl
tl

Но в силу условий (2.3) первый член в этом выражении исчезает.
Остается интеграл, который должен быть равен нулю при про­
извольных значениях 6q. Это возможно только в том случае,
если подынтегральное выражение тождественно обращается в
нуль. Таким образом, мы получаем уравнение
d dL _ dL _ q
dt dq
dq

При наличии нескольких степеней свободы в принципе наимень­
шего действия должны независимо варьироваться s различных
функций qi(t). Очевидно, что тогда мы получаем s уравнений:
s § - i = °
.............
Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются
в механике уравнениями Лагранжа х). Если функция Лагран­
жа данной механической системы известна, то уравнения (2.6)
устанавливают связь между ускорениями, скоростями и коорди­
натами, т.е. представляют собой уравнения движения системы.
С математической точки зрения уравнения (2.6) составля­
ют систему s уравнений второго порядка для s неизвестных
функций qi(t). Общее решение такой системы содержит 2s прог) В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу
об определении экстремумов интегралов вида (2.1), они называются урав­
нениями Эйлера.

13

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

извольных постоянных. Для их определения и тем самым пол­
ного определения движения механической системы необходимо
знание начальных условий, характеризующих состояние систе­
мы в некоторый заданный момент времени, например знание
начальных значений всех координат и скоростей.
Пусть механическая система состоит из двух частей Аж В,
каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве
функции Лагранжа соответственно функции La и Lg. Тогда в
пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаи­
модействием между ними можно было пренебречь, лагранжева
функция всей системы стремится к пределу
Пш L =

L j ± - \- L g .

(^*^)

Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает со­
бой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодей­
ствующих частей не могут содержать величины, относящиеся к
другим частям системы.
Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической
системы на произвольную постоянную само по себе не отра­
жается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла
вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа
различных изолированных механических систем могли бы умно­
жаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивно­
сти устраняет эту неопределенность, — оно допускает лишь
одновременное умножение лагранжевых функций всех систем
на одинаковую постоянную, что сводится просто к естествен­
ному произволу в выборе единиц измерения этой физической
величины; мы вернемся еще к этому вопросу в § 4.
Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рас­
смотрим две функции L \q,q,t) и L(q,q,t) , отличающиеся друг
от друга на полную производную по времени от какой-либо функ­
ции координат и времени f(q,t)\
L'(q, q, t) = L(q, q, t) + jJ { q , t).
(2.8)
Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (2.1)
связаны соотношением
t2
t2
t2
S' = L’(q,q,t)dt = L(q,q,t)dt + & dt =

j

J

J

= S + f(q W ,t 2 ) - f ( q {1),h ),

14

УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ

ГЛ. I

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезаю­
щим при варьировании действия, так что условие 8S' = 0 сов­
падает с условием 8S = 0, и вид уравнений движения остается
неизменным.
Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точ­
ностью до прибавления к ней полной производной от любой
функции координат и времени.
§ 3. Принцип относительности Галилея
Для изучения механических явлений надо выбрать ту или
иную систему отсчета. В различных системах отсчета зако­
ны движения имеют, вообще говоря, --">