Teacher.elementary.school - Методика преподавания математики в начальной школе

равенства а · b = b · a

Хотя множества A × B и В × А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества A × B можно поставить в соответствие единственную пару (b, a) из множества В × А, и наоборот. Значит, n(A × B) = n(В × A) и поэтому а · b = b · a.

а · b = n(A × B) = n(В × A) = b · a

2) Ассоциативность (а · b) · c = a · (b · c) доказывается аналогично.

Множества A × (B × С) и (A × B) × С различны, но равномощны: каждой паре (а, (b, с)) из множества A × (B × С) соответствует единственная пара ((а, b), с) из множества (A × B) × С и наоборот. Поэтому n(A × (B × С)) = n ((A × B) × С), а следовательно a (b c)= (а b) c.

3) Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства * А ×(В U С) = (А × В) U (А × С), а вычитания из равенства А ×(В \ С) = (А × В) \ (А × С).

(Ұ а, b,c Є Z) a · (b + c)= a· b + a·c (a +b) · c= a· с + b ·c

а = n (A), b = n (B), с = n (С):

Если А умножить на В и С, то А ×(В U С) = (А × В) U (А × С)

a · (b · c) = n (A) × n(В U С) = n(A ×(В U С)) = n((А × В) U (А × С))=

на основе рав.*      

= n(А × В) + n(А × С) = a· b + a·c

Таким образом, умножение определяется через сложение, а особые случаи умножения с нулем принимаются по определению: а · 1 = а, а · 0 = 0.

Теоретико-множественный смысл частного

План:

I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел.

II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму.

III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в».

IV. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.

I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел

С теоретико-множественной      точки зрения деление чисел – операция обратная умножению и связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются задачи двух видов:

– деление на равные части (нахождение числа элементов в каждом подмножестве разбиения);

– деление по содержанию (отыскание числа таких подмножеств).

Если а = n (A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число подмножеств, то частное а : b – число элементов в каждом подмножестве;

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b – число таких подмножеств.

В соответствии с этим обосновывается выбор арифметического действия для решения задач:

а) Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям – Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик?

В задаче рассматривается множество, в котором 15 элементов – орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, т.к мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 15 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: каждый мальчик получил по 5 орехов.

б) Доктор раздал 12 таблеток витаминов по 3 каждому ребенку. Сколько детей получили таблетки витаминов?

Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления: 12 : 3. Вычислив значение этого выражения – 12 : 3 = 4, получаем ответ на вопрос задачи: таблетки получили четыре ребенка.

II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму

В математике при различных вычислениях пользуются правилами деления суммы на число. Дадим теоретико-множественное обоснование этим правилам.

Правило деления суммы на число:

Если частные а : с и b : с существуют, то (а + b) : с = а : с + b : с.

Пусть а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В – из b : с подмножеств, то А U В состоит из а : с+ b : с подмножеств. Это и значит, что (а + b) : с = а : с+ b : с.

III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в»

С теоретико-множественной точки зрения рассматриваются и отношения «больше в», «меньше в», которые рассматриваются в текстовых задачах.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения натуральных чисел: если а : b = c, то можно говорить,

что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее разделить на --">