Александр Григорьевич Мордкович , Павел Владимирович Семёнов , Николай Петрович Николаев - Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углублённый уровень). В 2-х частях. Часть 1

знаме­
натель отличен от нуля (и не важно, что он при х = 1 принимает от­
рицательное значение); следовательно, х = 1 — частное решение за­
данного нестрогого неравенства.
х > 2-

4

и

Вопросы для с а м о п р о в е р к и
1. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
< с в случае, когда с > 0; в случае, когда с < 0.
2. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
sifix) > с в случае, когда с < 0; в случае, когда с > 0.
3. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
■Щх) < h(x). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере
решения неравенства v2x + 3 < х.
4. Расскажите, как вы будете решать неравенство вида
\lf(x) > h(x). Проиллюстрируйте ваш рассказ на примере
решения неравенства ^2х + 3 > х.

|

НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
В курсе алгебры 8-го класса вам уже встречались уравнения с пара­
метрами. Здесь мы рассмотрим задачи с параметрами, решение ко­
торых сводится к решению неравенств.

ШШШШШШШШШI
Известно, что уравнение ах2 - (4а + 4)х + За + 13 = 0 имеет действи­
тельные корни (один или два). При каких значениях параметра а:
а) каждый из корней больше 1;
б) каждый из корней меньше 1;
в) один корень больше, а другой меньше 1?
Если а = 0, то уравнение принимает вид - 4 х + 13 = 0, от­
куда находим х = —.
4
Если а * 0, то заданное уравнение можно переписать в виде
За +13
а
а
Графиком функции у = х2 - — + 4 х + - а + 13 является парабола с
а
а
ветвями, направленными вверх.
а) Случай а = 0 нас вполне устраивает, поскольку при а = 0 корень
13
уравнения х = — удовлетворяет заданному условию — он больше 1.

Рис. 56

Корни заданного уравнения при а Ф 0 больше 1 тогда и только
тогда, когда парабола пересекает ось х (или в крайнем случае касает­
ся оси х) в точках, лежащих правее точ­
ки (1; 0); геометрическая модель пред­
ставлена на рис. 56. Составим соответ­
ствующую аналитическую модель.
Во-первых, должно выполняться ус­
ловие D > 0, где D — дискриминант
квадратного уравнения (в противном
случае уравнение не будет иметь кор­
ней). Во-вторых, ось параболы должна
проходить правее точки (1; 0). Наконец,
в-третьих, должно выполняться условие
/(1) > 0, где
...

о

4а + 4

За + 13

f{x) = х 2 ----------х + ---------.
Итак, нас интересуют дискриминант D, уравнение оси параболы
и значение /(1).
1) 2)

=

4а + 4
а

- 4 За + 13

4 а 2 - 20а + 16

2) Уравнение оси параболы у = ах2 + Ъх + с имеет вид х = — , знаuCL
2а
+
2
чит, для рассматриваемой функции получаем х =
1 + За + 13
а
а
Учитывая указанные выше три условия, приходим к систеке
неравенств
3) /(1) = I 2 -

4а + 4
а

4а2 - 20а + 16

а‘
2а + 2

> о,

> 1,

® > 0.

Выполнив преобразования каждого неравенства системы, полу­
чим:
4(а - 1)(а - 4)

> 0,

а +2
> 0,
а

а > 0;
0 < а < 1; а > 4.

Добавив указанное выше значение параметра а = 0, получим
О < а < 1; а > 4.
б) Выясним, при каких значениях параметра а корни заданного
уравнения меньше 1. Если а = 0, то, как мы видели выше, х = —; это
4

значение больше 1, а потому случай а = 0 нас теперь не устраивает.
Если а * 0, то корни уравнения х2 - -4а +-~ х + Зд-- 13 = 0 меньа
а
ше 1 тогда и только тогда, когда парабола пересекает ось х (или в
крайнем случае касается оси х) в точках, лежащих левее точки
(1; 0); геометрическая модель представлена на рис. 57. Составим со­
ответствующую аналитическую модель.
Во-первых, как и в пункте а), долж­
но выполняться условие D > 0. Вовторых, ось параболы должна проходить
левее точки (1; 0). Наконец, в-третьих,
должно выполняться условие /(1) > 0.
Учитывая указанные выше три усло­
вия, приходим к системе неравенств
4 а2 - 20а 4 16

а“
2а 4 2

> 0,

< 1,

- > 0.

а

Выполнив преобразования каждого
неравенства системы, получим:

ifeziKg-r4) > о,
0 4 2

< 0,
а
а > 0.

Эта система не имеет решений,
в) Геометрическая модель ситуации,
когда 1 находится между корнями урав­
нения, представлена на рис. 58. Достаточно потребовать выполнения
условия f(l) < 0. Таким образом, приходим к неравенству - < 0, ота
куда находим а < 0.
а) 0 < а < 1; а > 4;
б) таких значений параметра нет;
в) а < О.

Сколько корней имеет уравнение \х - 2| = ах + 1 при различных зна­
чениях параметра а?
П ервы й способ. Если х > 2, то \х - 2 \= х - 2, и уравнение
принимает вид х - 2 = а х + 1, т. е. х(1 - а) = 3. Если ке
х < 2 , то |ж- 2| = —(лг - 2), и уравнение принимает вид -( я - 2) = а х +1,
т. е. д:(1 + а) = 1.
Итак, получилась --">