Эдуард Николаевич Балаян - Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень) : 7 класс

105°.
Ответ: AROS = 105°, ASOK = 75°.

К таблице 4
7. По условию задачи Zl + Z2 + Z3 = 220°. Но Z2 + Z3 = 180° как
сумма смежных углов. Тогда получим Z1 + 180° = 220°, Z1 = 40°.

Раздел III. Решения некоторых задач

•» 43

Zl = Z3 = 40° (вертикальные углы равны).
Z2 = Z4 = 180° - Z3 = 180° - 40° = 140°.
Ответ: Zl = Z3 = 40°, Z2 = Z4 = 140°.
12. Так как Zl = Z3 и Z2 = Z4 (как вертикальные), то Zl - Z2 + Z3 +
+ Z4 = Zl - Z2 + Zl + Z2 = 260° (по условию), или 2Z1 = 260°, откуда
Z1 = 260°: 2 = 130°, тогда Z2 = 180° - 130° = 50°.
Ответ: Z1 = 130°, Z2 = 50°.
16. Так как 20° = 0,2 = —, то Z2 = — Z1, или Zl = 5Z2. Пусть Z2 = х,
5
5

тогда Z2 = 5х. Имеем уравнение х + 5х = 180, 6х = 180, х = 30. Значит,
Z2 = 30°, тогда Z1 = 5х = 150°.
Ответ: Z1 = 150°, Z2 = 30°.
К таблице 5

11.1) Рассмотрим А АСМ и AADM.
АС = AD, СМ = DM (по условию), АМ — общая сторона. Значит,
ААСМ = AADM (по трем сторонам), т. е. по III признаку равенства тре­
угольников.
2) АСМВ = ADMB (как углы соответственно смежные ААМС и
AAMD), МВ — общая сторона. Значит, АСМВ = ADMB (по двум сторо­
нам и углу между ними), т. е. по I признаку равенства треугольников.
Тогда СВ = DB.
3) ААСВ = AADB (по трем сторонам): АС = AD (по условию), ВС = BD
(по доказанному), АВ — общая сторона.

20. 1) В AMEF и AMNF известно, что MN = EF и ME = NF. Кроме
того, MF — общая сторона. Значит, AMEF = AMNF (по трем сторонам),
т. е. по III признаку равенства треугольников. Из равенства треуголь­
ников следует, что AFMN = AEFM и AMFN = AEMF.
2) AEMN = AENF (по трем сторонам), тогда AMNE = AFEN и
AMEN = AENF.
3) АМОЕ = AFON и AMON = A FOE (по стороне и прилежащим к ней
углам), т. е. по II признаку равенства треугольников.
24. 1) AAOD = АСОВ (по II признаку равенства треугольников), т. е.
по стороне и прилежащим к ней углам, тогда OD = ОВ и АО = ОС.
2) ADAC = ABAC (по I признаку равенства треугольников), т. е. по
двум сторонам и углу между ними.
3) ADOC = ААОВ, так как OD = ОВ, АО = ОС и ADOC = ААОВ как
вертикальные.
4) AAOD = Д СОВ (по III признаку).

44 «•

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ: 7 класс

К таблице 6

7. По условию ХМ = XN, значит, AMKN — равнобедренный, где
МК = NK.
Пусть МК = KN = х, тогда MN = х + 4, так как по условию MN - МК = 4. Но периметр Р = 34, следовательно, имеем уравнение
х + х + (х + 4) = 34, или Зх = 34 -4, Зх = 30, х = 10.
Значит, MN = х + 4 = 14, МК = KN = 10.
Ответ: MN ~ 14, МК = KN = 10.
11. Пусть МК = KN = х (AMKN — равнобедренный, так как КТ —
высота — общая сторона, МТ = TN (по условию).
Значит, А МКТ = ^KTN — по двум катетам, тогда МК = NK). МТ =
= TN = у. По условию МК + КТ + МТ = 24, или х + КТ + у = 24.
Кроме того, Р = 32, или 2х + 2у = 32, х + у = 16.
Значит, КТ = 24 - (х + I/) = 24 - 16 = 8.
Ответ: 8.

14. Пусть ME = Зх, EF = 4х. Так как Рдмер = 48, то получим ME +
+ EF + MF = 48, где MF = 20 (по условию), тогда Зх + 4х + 20 = 48,
7х = 28, х = 4. Значит, MN = 2МЕ = 2 • Зх = 24, EF = 4х = 16.
Ответ: MN — 24, EF = 16.
К таблице 7

10. Так как АМ = ВМ, то А АМВ — равнобедренный (по определе­
нию). По условию ХМ = 80°, ХА = ХАВМ = (180° - 80°): 2 = 50°. Значит,
ХСВА = 180° - ХАВМ = 180° - 50° = 130°.
Ответ: 130°.
12. По условию MN = BN, тогда AMBN — равнобедренный (по опре­
делению), а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
(по свойству). Значит, ХМ = XMBN = 60°, тогда XABN = 180° - 60° =
= 120° (по свойству смежных углов). Но ВС — биссектриса XABN (по
условию), тогда ХСВА = 120° : 2 = 60°.
Ответ: 60°.
16. Так как АВ =AD, то AABD — равнобедренный (по определению).
Высота АМ, проведенная к основанию BD, является одновременно бис­
сектрисой и медианой.
По условию ХВАМ = 30°, ХАМВ = 90°, тогда ХАВС = 30° + 90° = 120°
(по теореме о внешнем угле треугольника).
Ответ: 120°.

Разлел III. Решения некоторых залач

•» 45

К таблице 8
4. KN — касательная к окружности, ON — радиус, тогда ZONK =
= 90° (по свойству касательной). В AKON ZK = 26°, ZONK = 90°, зна­
чит, ZKON = 90° - 26° = 64° => ZMON = 180° - 64° = 116°. Так как МО =
= ON (как радиусы), то ZM = ZMNO = (180° - 116°): 2 = 32°.
Ответ: ZM - 32°, ZMON = 116°, ZMNO = 32°.

8. МО = ОК = ON = R — радиус окружности, значит, АМОК — рав­
нобедренный с основанием МК, тогда ZMKO = ZOMK = 60°, следова­
тельно, ZMOK = 180° - (60° + 60°) = 60°, т. е. АМОК — равносторон­
ний. По условию ME = EN и ОМ = ON => AMON — равнобедренный,
значит, ОЕ — биссектриса, тогда ZMOE = ZNOE = 60°.
В равнобедренном AMON биссектриса ОЕ является высотой, т. е.
ZMEO = 90°, ZOME = 90° - 60° = 30°.
Ответ: ZOME = 30°, ZMOE = 60°, ZMEO = 90°.
К таблице 9

5. Z1 = 40° (по свойству верти­
кальных углов). Так как 140° 4- 40° =
= 180°, то d || е (если при пересечении
двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
Значит, d || е.

8. Так как АВ = АМ, то ААВМ — рав­
нобедренный. Тогда Zl = Z3 (по свой­
ству). Но Zl = Z2 (по условию), значит,
Z2 = Z3. Но Z2 и Z3 — накрест лежащие,
с — секущая, следовательно, т || п (по
признаку --">